ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 349 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высоты \(BM\) и \(CK\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Докажите, что точки \(A\), \(K\), \(H\) и \(M\) лежат на одной окружности.

В четырехугольнике АКНМ: \(\angle АКН = \angle АНМ = 90°\); \(\angle АКН + \angle АНМ = 180°\). Следовательно, точки А, К, Н, М лежат на одной окружности.

Дано: в четырехугольнике AKNH известно, что \(\angle АКН = \angle АНМ = 90°\). Требуется доказать, что точки А, К, Н, М лежат на одной окружности.

Доказательство:
1) Рассмотрим четырехугольник AKNH. Поскольку в нем два прямых угла (\(\angle АКН = \angle АНМ = 90°\)), то он является вписанным в окружность.
2) Для вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \(180°\): \(\angle АКН + \angle АНМ = 180°\).
3) Подставляя известные значения углов, получаем: \(\angle АКН + \angle АНМ = 90° + 90° = 180°\).
4) Таким образом, точки А, К, Н, М лежат на одной окружности.