ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 350 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр данной трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20 см.

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(FO = HO = EO = 20\), \(FH = FO + HO = 40\), \(CG = CF, DG = DH\), \(CF + DH = CG + DG = CD\), \(BF = BE = 8, AH = AE = 50\)
2) В четырехугольнике FCDH: \(FO \perp FC, HO \perp HD, O \in FH\), \(\angle F = \angle C = \angle D = \angle H = 90^\circ\), FCDH — прямоугольник, \(CD = FH = 40\)
3) В трапеции ABCD: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\), \(P_{ABCD} = AE + BE + BF + CF + CG + DG + DH + AH = 50 + 8 + 8 +\)
\(+ 40 + 40 + 50 = 196\)
Ответ: 196 см.

Итак, рассмотрим задачу подробно:

Дано:
— Трапеция ABCD
— \(\angle AC = \angle BD = 90^\circ\)
— \(OE \perp AB\)
— \(OF \perp BC\)
— \(OH \perp AD\)
— \(OE = 20\) см
— \(AE = 50\) см
— \(BE = 8\) см

Решение:

1. Рассмотрим окружность, описанную вокруг трапеции:
— \(FO = HO = EO = 20\) см
— \(FH = FO + HO = 40\) см
— \(CG = CF\), \(DG = DH\)
— \(CF + DH = CG + DG = CD\)
— \(BF = BE = 8\) см, \(AH = AE = 50\) см

2. Рассмотрим четырехугольник FCDH:
— \(FO \perp FC\), \(HO \perp HD\), \(O \in FH\)
— \(\angle F = \angle C = \angle D = \angle H = 90^\circ\)
— FCDH — прямоугольник
— \(CD = FH = 40\) см

3. Рассчитаем периметр трапеции ABCD:
— \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\)
— \(P_{ABCD} = AE + BE + BF + CF + CG + DG + DH + AH\)
— \(P_{ABCD} = 50 + 8 + 8 + 40 + 40 + 50 = 196\) см

Ответ: 196 см.