ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 351 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см.

Краткий ответ:

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(FO = HO = EO = R\), \(FH = FO + HO = 2R\), \(CG = CF, DG = DH\), \(CF + DH = CG + DG = CD\), \(BF = BE = 3, AH = AE = 12\)
2) В четырехугольнике FCDH: \(FO \perp FC, HO \perp HD, O \in FH\), \(\angle F = \angle C = \angle D = \angle H = 90^{\circ}\), FCDH — прямоугольник, \(CD = FH = 2R\)
3) В трапеции ABCD: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = AE + BE + BF + CF + CG + DG +\)
\(+ DH + AH\), \(12 + 3 + 3 + 2R + 2R + 12 = 54\), \(4R = 24, R = 6\)
Ответ: 6 см.

Подробный ответ:

Дано:
— Четырехугольник ABCD является трапецией
— \(\angle C = \angle D = 90^{\circ}\)
— \(OE \perp AB\)
— \(OF \perp BC\)
— \(OH \perp AD\)
— Периметр трапеции \(P_{ABCD} = 54\) см
— \(AE = 12\) см
— \(BE = 3\) см

Решение:
1) Рассмотрим окружность, описанную вокруг трапеции ABCD:
— Радиус этой окружности равен \(R = FO = HO = EO\)
— \(FH = FO + HO = 2R\)
— \(CG = CF\) и \(DG = DH\), так как \(\angle C = \angle D = 90^{\circ}\)
— \(CF + DH = CG + DG = CD\)
— \(BF = BE = 3\) см и \(AH = AE = 12\) см

2) Рассмотрим четырехугольник FCDH:
— \(FO \perp FC\), \(HO \perp HD\), \(O \in FH\)
— \(\angle F = \angle C = \angle D = \angle H = 90^{\circ}\)
— Следовательно, FCDH является прямоугольником
— \(CD = FH = 2R\)

3) Найдем периметр трапеции ABCD:
— \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\)
— \(P_{ABCD} = AE + BE + BF + CF + CG + DG + DH + AH\)
— \(P_{ABCD} = 12 + 3 + 3 + 2R + 2R + 12 = 54\)
— Отсюда \(4R = 24\), \(R = 6\)

Ответ: \(OE = 6\) см.

Оцени решение