ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 353 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ трапеции, вписанной в окружность, равна \(d\). Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом \(120^\circ\). Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(U AB = \angle AOB = 120^\circ\);
\(\angle ADB = \frac{1}{2} U AB = 60^\circ\);
\(\angle ACB = \frac{1}{2} U AB = 60^\circ\).

2) В трапеции ABCD: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\);
\(\angle B = \angle C\), \(AB = CD\);
\(AH \equiv DH\), \(BH \equiv CH\);
\(EF\) — средняя линия.

3) В треугольнике AHD: \(AH = DH\), \(\angle ADH = 60^\circ\);
\(\triangle AHD\) — равносторонний, \(AD = AH\).

4) В треугольнике BHC: \(BH = CH\), \(\angle BCH = 60^\circ\);
\(\triangle BHC\) — равносторонний, \(BC = CH\).

5) В трапеции ABCD: \(EF = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{1}{2}d\).

Ответ: \(\frac{d}{2}\).

Решение:

Дано:
— Трапеция ABCD
— Центр описанной окружности O
— Средняя линия EF
— Угол AOB = \(\angle AOB = 120^\circ\)
— Сторона AC = d

Шаг 1: Рассмотрим окружность, описанную вокруг трапеции ABCD.
Так как угол AOB = \(\angle AOB = 120^\circ\), то угол ADB = \(\angle ADB = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ\) и угол ACB = \(\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ\).

Шаг 2: Рассмотрим свойства трапеции ABCD.
Так как сумма углов трапеции равна \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle C = 180^\circ\).
Также известно, что \(\angle B = \angle C\) и \(AB = CD\).

Шаг 3: Рассмотрим треугольник AHD.
В треугольнике AHD известно, что \(AH \equiv DH\) и \(\angle ADH = 60^\circ\). Следовательно, треугольник AHD является равносторонним, и \(AD = AH\).

Шаг 4: Рассмотрим треугольник BHC.
В треугольнике BHC известно, что \(BH \equiv CH\) и \(\angle BCH = 60^\circ\). Следовательно, треугольник BHC также является равносторонним, и \(BC = CH\).

Шаг 5: Найдём длину средней линии EF.
Средняя линия EF делит трапецию пополам, поэтому \(EF = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{1}{2}d\).

Ответ: \(\frac{d}{2}\).