ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 354 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковые стороны и меньшее основание равнобокой трапеции равны 6 см, а один из ее углов равен \(60^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Решение:
1) Рассмотрим окружность: AB = BC = CD; ∠AB =∠BC =∠CD; ∠BAD = (∠BAC + ∠DAC)/2; ∠BAD = (1/2)∠BC + (1/2)∠CD;
2∠BAD =∠BC +∠BC; ∠BC = ∠BAD = 60°; ∠AD =∠AB +∠BC +∠CD; ∠AD = 3∠BC = 180°; AD — диаметр, O є AD;
OA = OB = R;
2) В треугольнике АОВ: OA = OB, ∠BAO =60°; Следовательно, △AOB — равносторонний, OA = OB = AB = 6.

Ответ: 6 см.

Дано:
— Трапеция ABCD
— Центр описанной окружности O
— AB = BC = CD
— AB = 6 см
— ∠BAD = 60°

Решение:

1) Рассмотрим окружность, описанную около трапеции ABCD. Так как AB = BC = CD, то углы ∠AB, ∠BC и ∠CD равны между собой: ∠AB = ∠BC = ∠CD.

2) Угол ∠BAD равен половине суммы углов ∠BAC и ∠DAC: ∠BAD = (∠BAC + ∠DAC)/2.

3) Так как AB = BC = CD, то ∠BAC = ∠ABC = ∠BCD = ∠DCA. Следовательно, ∠BAD = (∠BAC + ∠BAC)/2 = ∠BAC.

4) Из равенства углов в окружности следует, что ∠BAC = ∠ABC = ∠BCD = ∠DCA = (1/2)∠BC.

5) Таким образом, ∠BAD = (1/2)∠BC.

6) Так как ∠BAD = 60°, то ∠BC = 2∠BAD = 2 · 60° = 120°.

7) Поскольку AB = BC = CD, то ∠AB = ∠BC = ∠CD = 120°.

8) Угол ∠AD равен сумме углов ∠AB, ∠BC и ∠CD: ∠AD = ∠AB + ∠BC + ∠CD = 120° + 120° + 120° = 360°.

9) Следовательно, AD является диаметром описанной окружности.

10) Так как O является центром описанной окружности, то OA = OB = R, где R — радиус окружности.

11) В треугольнике AOB, ∠BAO = 60°, следовательно, треугольник AOB равносторонний, и OA = OB = AB = 6 см.

Ответ: OA = 6 см.