ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 355 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из произвольной точки \(M\) катета \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) опущен перпендикуляр \(MK\) на гипотенузу \(AB\). Докажите, что \(\angle MKC = \angle MBC\).

Решение:

В четырехугольнике СМКВ: \(\angle MCB = \angle MKB = 90^\circ\); \(\angle MCB + \angle MKB = 180^\circ\). Можно описать окружность: \(\angle MKC = \frac{1}{2}\angle MBC\).

Дано: \(\angle ABC = 90^\circ\), \(MK \perp AB\)

Доказать: \(\angle MKC = \angle MBC\)

Решение:
1) Рассмотрим четырехугольник CMKB. Так как \(\angle MCB = \angle MKB = 90^\circ\), то четырехугольник CMKB является вписанным в окружность.
2) Для вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), то есть \(\angle MCB + \angle MKB = 180^\circ\).
3) Так как \(\angle MCB = \angle MKB = 90^\circ\), то \(\angle MCB = \angle MKB = 90^\circ\).
4) Следовательно, \(\angle MKC = \frac{1}{2}\angle MBC\), так как углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Таким образом, мы доказали, что \(\angle MKC = \angle MBC\).