ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 356 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из произвольной точки О, которая принадлежит острому углу А, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры ОВ и ОС на стороны угла. Докажите, что \(\angle{OAB} = \angle{OСB}\).

В четырехугольнике СОВА: \(\angle OCA = \angle OBA = 90^\circ\); \(\angle OCA + \angle OBA = 180^\circ\). Можно описать окружность: \(\angle OAB = \angle OCB\); \(\angle OAB = \angle OCB = \frac{1}{2} \angle OB\).

Дано:
— Отрезок ОВ перпендикулярен прямой АВ (ОВ ⊥ АВ)
— Отрезок ОС перпендикулярен прямой АС (ОС ⊥ АС)

Доказать:
\(\angle АОВ = \angle СОВ\)

Решение:
1. Рассмотрим четырехугольник СОВА.
2. В этом четырехугольнике \(\angle ОСА = \angle ОВА = 90^\circ\), так как ОС ⊥ АС и ОВ ⊥ АВ.
3. Сумма углов в четырехугольнике равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle ОСА + \angle ОВА = 180^\circ\).
4. Так как \(\angle ОСА = \angle ОВА = 90^\circ\), то \(\angle ОСА + \angle ОВА = 180^\circ\).
5. Следовательно, четырехугольник СОВА вписан в окружность.
6. Углы, опирающиеся на одну хорду, равны, поэтому \(\angle АОВ = \angle СОВ\).

Таким образом, доказано, что \(\angle АОВ = \angle СОВ\).