ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 357 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектрисы ВК и СМ треугольника АВС пересекаются в точке О, \(\angle{ZA} = 60^\circ\). Найдите угол \(\angle{СМК}\).

Решение:

1) В треугольнике АВС: \(LA + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\); \(60^{\circ} + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\); \(\angle B + \angle C = 120^{\circ}\); ВК, СМ — биссектрисы.

Дано:
— Отрезок ВК равен биссектрисе угла LB в треугольнике ABC.
— Отрезок СМ равен биссектрисе угла LC в треугольнике ABC.
— Угол LA равен 60 градусам.

Решение:
1) Так как угол LA равен 60 градусам, то сумма углов в треугольнике ABC должна быть равна 180 градусам:
\(LA + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)
2) Подставляя известное значение угла LA, получаем:
\(60^{\circ} + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)
3) Вычитая 60 градусов из обеих частей, получаем:
\(\angle B + \angle C = 120^{\circ}\)
4) Так как ВК и СМ являются биссектрисами углов LB и LC соответственно, то они делят эти углы пополам. Следовательно:
\(\angle BKC = \frac{\angle B}{2}\)
\(\angle BCM = \frac{\angle C}{2}\)
5) Сумма углов треугольника КСМ равна 180 градусам:
\(\angle BKC + \angle BCM + \angle CKM = 180^{\circ}\)
6) Подставляя выражения из пункта 4, получаем:
\(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} + \angle CKM = 180^{\circ}\)
7) Упрощая, получаем:
\(\frac{\angle B + \angle C}{2} + \angle CKM = 180^{\circ}\)
8) Из пункта 3 мы знаем, что \(\angle B + \angle C = 120^{\circ}\), поэтому:
\(\frac{120^{\circ}}{2} + \angle CKM = 180^{\circ}\)
9) Упрощая, получаем:
\(60^{\circ} + \angle CKM = 180^{\circ}\)
10) Вычитая 60 градусов из обеих частей, получаем:
\(\angle CKM = 120^{\circ}\)

Таким образом, угол CKM равен 120 градусам, что и требовалось найти.