ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 360 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р (рис. 110). Докажите, что точка С при этом перемещается по отрезку.

Краткий ответ:

Решение:

1) В четырехугольнике РАСВ: \(\angle APB = \angle ACB = 90°\); \(\angle APB + \angle ACB = 180°\);

2) Можно описать окружность: \(U AB = 2\angle ACB = 180°\); АВ — диаметр; \(\angle CPB = \frac{1}{2} U CB\);

3) Отрезки АВ и СВ не меняются: \(U CB\), \(\angle CPB\) — постоянные; Точка С перемещается по прямой.

Подробный ответ:

Подробное решение:

Дано: Вершины А и В треугольника АВС с углом С = 90° скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р.

1) Рассмотрим четырехугольник РАСВ:
— Угол АРВ равен 90°, так как он является углом прямого угла.
— Угол АСВ также равен 90°, так как он является вертикальным углом к углу АРВ.
— Следовательно, \(\angle APB = \angle ACB = 90°\).
— Сумма углов четырехугольника РАСВ равна 360°, поэтому \(\angle APB + \angle ACB = 180°\).

2) Опишем окружность, проходящую через точки А, В и С:
— Центральный угол АСВ равен 180°, так как он опирается на диаметр АВ.
— Следовательно, \(U AB = 2\angle ACB = 180°\), где \(U AB\) — центральный угол, опирающийся на хорду АВ.
— Так как АВ — диаметр окружности, то \(\angle CPB = \frac{1}{2} U CB\), где \(U CB\) — центральный угол, опирающийся на хорду СВ.

3) Отрезки АВ и СВ не меняются:
— Угол \(\angle CPB\) и длина хорды \(U CB\) остаются постоянными.
— Точка С перемещается по прямой линии.

Таким образом, доказано, что отрезки АВ и СВ не меняются, а точка С перемещается по прямой линии.

Оцени решение