ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 361 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из произвольной точки М, принадлежащей острому углу с вершиной А, но не принадлежащей его сторонам, проведены перпендикуляры MP и MQ к сторонам угла. Из точки А проведен перпендикуляр АК к отрезку PQ. Докажите, что \(\angle{PAK} = \angle{MAQ}\).

Решение:

1) В четырехугольнике APMQ: \(\angle APM = \angle AQM = 90^\circ\), \(\angle APM + \angle AQM = 180^\circ\); можно описать окружность: \(\angle APQ = \angle AMQ = \frac{1}{2} \angle AQ\).
2) В прямоугольном ΔAPK: \(\angle APK + \angle PAK = 90^\circ\), \(\angle PAK = 90^\circ — \angle APK\).
3) В прямоугольном ΔAMQ: \(\angle AMQ + \angle MAQ = 90^\circ\), \(\angle MAQ = 90^\circ — \angle AMQ\), \(\angle MAQ = \angle PAK\).
Таким образом, \(\angle PAK = \angle MAQ\).

Дано:
— Отрезки MP и AQ параллельны.
— Отрезки MQ и AP параллельны.
— Отрезок AK перпендикулярен отрезку PQ.

Доказать: \(\angle PAK = \frac{1}{2} \angle AQ\)

Решение:
1) Рассмотрим четырехугольник APMQ. Так как противоположные стороны MP и AQ, а также MQ и AP параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
2) В параллелограмме APMQ противоположные углы равны: \(\angle APM = \angle AQM = 90^\circ\).
3) Сумма углов в параллелограмме равна \(180^\circ\): \(\angle APM + \angle AQM = 180^\circ\).
4) Так как четырехугольник APMQ является описанным около окружности, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: \(\angle APQ = \angle AMQ = \frac{1}{2} \angle AQ\).
5) Рассмотрим прямоугольный треугольник APK. Так как отрезок AK перпендикулярен отрезку PQ, то \(\angle APK + \angle PAK = 90^\circ\).
6) Следовательно, \(\angle PAK = 90^\circ — \angle APK\).
7) Рассмотрим прямоугольный треугольник AMQ. Так как \(\angle AMQ + \angle MAQ = 90^\circ\), то \(\angle MAQ = 90^\circ — \angle AMQ\).
8) Так как \(\angle MAQ = \angle PAK\), то \(\angle PAK = \angle MAQ\).
9) Таким образом, \(\angle PAK = \frac{1}{2} \angle AQ\).