ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 362 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике АВС отрезки СС1 и АА, — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка СА проходит через середину стороны АС.

Решение:
1) В четырехугольнике ACA1C1: \(\angle AC_1C = 2\angle CA_1A = 90^\circ\); Можно описать окружность: \(U AC = 2\angle AC_1C = 180^\circ\); \(U AC = 2\angle CA_1A = 180^\circ\); AC — диаметр;
2) В треугольнике A1MC1: MD — медиана и высота; \(\triangle A_1MC_1\) — равнобедренный; \(A_1M = C_1M\);
3) Рассмотрим окружность: \(A_1M = C_1M = R\); M — центр окружности; \(AM = CM = R\);
Что и требовалось доказать.

Дано: четырехугольник ABCD, где AA1 — высота, CC1 — высота, A1D = C1D, и DM ⊥ A1C1.

Доказать: AM = CM.

Решение:
1) Рассмотрим четырехугольник ACA1C1. Так как \(\angle AC_1C = 2\angle CA_1A\), то \(\angle AC_1C = 90^\circ\). Следовательно, четырехугольник ACA1C1 является вписанным в окружность.
2) Поскольку четырехугольник ACA1C1 вписан в окружность, то \(U AC = 2\angle AC_1C = 180^\circ\) и \(U AC = 2\angle CA_1A = 180^\circ\). Таким образом, AC является диаметром окружности.
3) Рассмотрим треугольник A1MC1. Так как DM ⊥ A1C1, то MD является медианой и высотой треугольника A1MC1. Следовательно, \(\triangle A_1MC_1\) является равнобедренным, и \(A_1M = C_1M\).
4) Так как AC является диаметром окружности, то \(A_1M = C_1M = R\), где R — радиус окружности. Следовательно, \(AM = CM = R\).

Таким образом, мы доказали, что AM = CM, что и требовалось показать.