ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 363 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В остроугольном треугольнике АВС отрезки СС1 и АА, — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка СА проходит через середину стороны АС.
Решение:
1) Отметим точки E и F: AE = BE, CF = DF;
2) В трапеции ABCD: AD + BC = AB + CD; EF — средняя линия;
EF = \(\frac{1}{2}(AB + CD)\);
3) В окружности радиуса AB: EA = EB = EO = R1, AB = 2R1;
4) В окружности радиуса CD: FC = FD = F0 = R2, CD = 2R2;
5) В трапеции ABCD:
EF = \(\frac{1}{2}(2R1 + 2R2) = R1 + R2\); EF = E0 + F0.
Решение:
Дано: ABCD — трапеция, AB и CD — диаметры окружностей, O — центр вписанной окружности.
Требуется доказать, что EF = E0 + F0, где E и F — точки пересечения средней линии EF трапеции с окружностями.
Доказательство:
1) Отметим точки E и F, где AE = BE и CF = DF. Это следует из того, что AB и CD — диаметры окружностей.
2) Рассмотрим трапецию ABCD. Согласно свойству трапеции, AD + BC = AB + CD. Средняя линия EF трапеции является отрезком, соединяющим середины боковых сторон. Поэтому EF = \(\frac{1}{2}(AB + CD)\).
3) Рассмотрим окружность с диаметром AB. Радиус этой окружности равен \(R_1 = \frac{1}{2}AB\), а длина дуги EA = EB = EO.
4) Рассмотрим окружность с диаметром CD. Радиус этой окружности равен \(R_2 = \frac{1}{2}CD\), а длина дуги FC = FD = F0.
5) Тогда EF = \(\frac{1}{2}(2R_1 + 2R_2) = R_1 + R_2\). Это означает, что EF = E0 + F0, что и требовалось доказать.
