ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 365 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике АВС отрезок AD — биссектриса. Через точку D проведена прямая, которая параллельна стороне АС и пересекает сторону АВ в точке Е. Через точку Е проведена прямая, которая параллельна стороне ВС и пересекает сторону АС в точке F. Докажите, что \(AE = CF\).

Решение:
1) В четырехугольнике EDCF: ED ∥ CF, EF ∥ CD; EDCF — параллелограмм; ED = CF;
2) Для ∆AC и ED и секущей AD: ∠EDA = ∠CAD;
3) В ∆AED: ∠EDA = ∠CAD — ∠AED; ∆AED — равнобедренный; AE = ED = CF;
Таким образом, AE = CF, что и требовалось доказать.

Дано:
— AD — биссектриса ∠A
— ED ⊥ AC
— EF ⊥ BC

Доказать: AE = CF

Решение:
1) Рассмотрим четырехугольник EDCF. Так как ED ⊥ AC и EF ⊥ BC, то EDCF является параллелограммом. Следовательно, противоположные стороны параллелограмма равны, то есть ED = CF.

2) Рассмотрим треугольник АСD и секущую AD. Так как AD является биссектрисой ∠A, то \(\tan\frac{\angle ACD}{2} = \tan\frac{\angle ACE}{2}\). Таким образом, \(\angle EDA = \angle CAD\).

3) Рассмотрим треугольник AED. Так как \(\angle EDA = \angle CAD\) и AD является биссектрисой ∠A, то ∆AED является равнобедренным треугольником. Следовательно, AE = ED.

Таким образом, AE = ED = CF, что и требовалось доказать.