ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 390 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 8 см, AD — медиана, BE — высота, BE = 12 см. Из точки D опущен перпендикуляр DF на сторону АС. Найдите отрезок DF и угол ADF.

Решение:

1) Треугольник ABC равнобедренный: BE — высота и медиана, CE = AE = 1/2 AC = 4.
2) Согласно теореме Фалеса: DF ⊥ AC, BE ⊥ AC, DF ‖ BE; EF/CF = EF/BD = BD/CD = 1.
3) В треугольнике CBE: EF = CF, BD = CD; DF — средняя линия, \(DF = 1/2 BE = 6\).
4) В прямоугольном треугольнике AFD: \(EF = 1/2 CE = 2\), \(AF = AE + EF = 6\), ΔAFD — равнобедренный, \(\angle ADF = 1/2 \cdot 90^\circ = 45^\circ\).
Ответ: 6 см, 45°.

Дано:
— AD — медиана треугольника ABC
— BE — высота треугольника ABC
— DF ⊥ AC
— AB = BC
— AC = 8 см
— BE = 12 см

Решение:
1) Согласно условию, треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = BC. Следовательно, высота BE является также медианой треугольника.
2) Используя свойство равнобедренного треугольника, можно найти длину отрезка CE: \(CE = AE = 1/2 \cdot AC = 1/2 \cdot 8 = 4\) см.
3) Применяя теорему Фалеса к треугольнику ABC, можно записать следующие пропорции:
\(EF/CF = EF/BD = BD/CD = 1\)
4) Из равенства EF = CF следует, что DF является средней линией треугольника ABC. Тогда \(DF = 1/2 \cdot BE = 1/2 \cdot 12 = 6\) см.
5) Треугольник AFD является прямоугольным. Используя свойство прямоугольного треугольника, можно найти длину отрезка EF: \(EF = 1/2 \cdot CE = 1/2 \cdot 4 = 2\) см.
6) Длину отрезка AF можно найти как сумму длин отрезков AE и EF: \(AF = AE + EF = 4 + 2 = 6\) см.
7) Так как треугольник AFD является равнобедренным (DF ⊥ AC), то \(\angle ADF = 1/2 \cdot 90^\circ = 45^\circ\).

Ответ:
— DF = 6 см
— \(\angle ADF = 45^\circ\)