ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 392 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основания трапеции равны 16 см и 28 см. Одну из боковых сторон разделили на три равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.
Решение:
1) По теореме Фалеса: \(BG = GH = HA\)
2) В трапеции AGED: \(AH = GH, DF = EF\); \(HF\) — средняя линия; \(HF = \frac{1}{2}(AD + GE)\); \(2HF = 28 + GE\); \(GE = 2HF — 28\)
3) В трапеции HBCF: \(HG = BG, FE = CE\); \(GE\) — средняя линия; \(GE = \frac{1}{2}(HF + BC)\); \(2GE = HF + BC\); \(4HF — 56 = HF + 16\); \(3HF = 72, HF = 24\); \(GE = 2 \cdot 24 — 28 = 20\)
Ответ: 20 см; 24 см.
Решение:
Дано: трапеция ABCD, где ВС = 16 см, AD = 28 см, CE = EF = FD, BC || GE || HF || AD.
Требуется найти длины отрезков GE и HF.
Шаг 1. Применим теорему Фалеса к треугольнику BGH.
Согласно теореме Фалеса, если прямые, пересекающие стороны треугольника, параллельны, то отношение длин соответствующих отрезков сторон треугольника равно.
Таким образом, \(BG = GH = HA\).
Шаг 2. Рассмотрим трапецию AGED.
Так как AD || GE и DF = EF, то по свойствам трапеции \(AH = GH\) и \(DF = EF\).
Кроме того, HF является средней линией трапеции AGED.
Согласно формуле для средней линии трапеции, \(HF = \frac{1}{2}(AD + GE)\).
Преобразуем это выражение: \(2HF = AD + GE\), откуда \(GE = 2HF — AD\).
Шаг 3. Рассмотрим трапецию HBCF.
Так как HG || BC и FE = CE, то по свойствам трапеции \(HG = BG\) и \(FE = CE\).
Кроме того, GE является средней линией трапеции HBCF.
Согласно формуле для средней линии трапеции, \(GE = \frac{1}{2}(HF + BC)\).
Преобразуем это выражение: \(2GE = HF + BC\).
Шаг 4. Решим систему уравнений, полученных на предыдущих шагах.
Из второго уравнения: \(GE = 2HF — 28\)
Подставим это выражение в третье уравнение:
\(2(2HF — 28) = HF + 16\)
Упростим:
\(4HF — 56 = HF + 16\)
\(3HF = 72\)
\(HF = 24\)
Шаг 5. Найдем длину отрезка GE.
Подставим найденное значение HF в уравнение \(GE = 2HF — 28\):
\(GE = 2 \cdot 24 — 28 = 20\)
Ответ: GE = 20 см, HF = 24 см.
