ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 396 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали трапеции пересекают ее среднюю линию МК в точках Е и F. Докажите, что ME = KF.

Решение:

1) В трапеции ABCD: \(АК = ВК\), \(СМ = DM\); \(АF = CF\), \(BE = DE\);
2) В треугольнике АВС: \(АК = ВК\), \(АF = CF\); \(КF\) — средняя линия, \(КF = \frac{1}{2}ВС\);
3) В треугольнике DBC: \(СМ = DM\), \(BE = DE\); \(ME\) — средняя линия, \(ME = \frac{1}{2}ВС = КF\).

Дано: четырехугольник ABCD является трапецией, средняя линия KM.

Доказать: ME = KF

Решение:
1) Рассмотрим трапецию ABCD. Согласно свойству трапеции, средняя линия KM является параллельной основаниям AB и CD, и делит их пропорционально. Следовательно, \(AK = BK\) и \(CM = DM\).

2) Рассмотрим треугольник ABC. Так как \(AK = BK\) и \(AF = CF\), то треугольники AKF и BKF равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(KF\) является средней линией треугольника ABC, и \(KF = \frac{1}{2}BC\).

3) Рассмотрим треугольник DBC. Так как \(CM = DM\) и \(BE = DE\), то \(ME\) является средней линией треугольника DBC. Следовательно, \(ME = \frac{1}{2}BC = KF\).

Таким образом, мы доказали, что \(ME = KF\), что и требовалось показать.