ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 400 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки М и К — середины сторон АВ и AD параллелограмма ABCD соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых ВК и DM принадлежит диагонали АС.

Решение:

1) В параллелограмме ABCD: \(AF = CF, BF = DF\);
2) В треугольнике ABD: \(BF = DF, AK = DK, AM = BM\); \(AF, BK, DM\) — медианы; \(BK \cap DM = 0, AF \cap BK = 0\); Что и требовалось доказать.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
— \(AM = BM\)
— \(AK = DK\)
— \(BK \cap DM = 0\)

Доказать: \(0 \in AC\)

Решение:
1) Так как ABCD является параллелограммом, то противоположные стороны AB и CD, а также AC и BD, параллельны и равны. Следовательно, \(AF = CF\) и \(BF = DF\).
2) Рассмотрим треугольник ABD. Так как \(AM = BM\) и \(AK = DK\), то \(BF = DF\) и \(AK = DK\). Таким образом, треугольник ABD является равнобедренным.
3) Медианы \(AF\), \(BK\) и \(DM\) пересекаются в одной точке, так как \(BK \cap DM = 0\).
4) Так как треугольник ABD является равнобедренным, то медиана \(AF\) является высотой и биссектрисой этого треугольника.
5) Следовательно, точка пересечения медиан \(AF\), \(BK\) и \(DM\) является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABD.
6) Так как \(AF\) является высотой треугольника ABD, то \(0 \in AC\).