ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 401 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный

Решение:

1) В треугольнике АВС:
AO : OE = 2 : 1, AO = 20E; CO : OF = 2 : 1, CO = 20F;
AE = AO + OE = 30E; CF = CO + OF = 30F;
OE = OF, AO = CO;

2) Рассмотрим ΔAOF и ΔCOE:
\(\angle AOF = \angle COE\) — вертикальные;
\(\Delta AOF = \Delta COE\) — первый признак;
\(\angle FAO = \angle ECO\);

3) ΔAOC равнобедренный:
\(\angle OAC = \angle OCA\);

4) В треугольнике АВС:
\(\angle BAC = 2\angle FAO + 2\angle OAC\);
\(\angle BCA = \angle ECO + \angle OCA\);
\(\angle BAC = \angle BCA\);
ΔABC — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

Решение:

Дано:
— АЕ — медиана треугольника АВС
— CF — медиана треугольника АВС
— АЕ = CF

Требуется доказать, что треугольник АВС является равнобедренным.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник АВС. Известно, что АЕ = 2/3 АС и СF = 2/3 АВ, так как АЕ и СF являются медианами треугольника.
2) Построим вспомогательные линии: продолжим АЕ до пересечения с ВС в точке О, и продолжим СF до пересечения с АВ в точке О.
3) Из подобия треугольников АОЕ и СОF следует, что АО : ОЕ = СО : OF, то есть АО = 2ОЕ и СО = 2OF.
4) Таким образом, АО = 2/3 АС и СО = 2/3 АВ, следовательно, АО = СО.
5) Поскольку АО = СО, треугольник АВС является равнобедренным, так как две его стороны (АВ и АС) равны.

Итак, мы доказали, что треугольник АВС является равнобедренным, так как АЕ = CF и АО = СО.