ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 402 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены медиана АМ и высота ВН. Найдите высоту ВН, если АМ = 45 см, \(\angle САМ = 30°\).

Решение:

1) Треугольник АВС равнобедренный: ВН — высота и медиана; AO : OM = 2:1, AO = 20M; BO : OH = 2 : 1, BO = 20H; AM = AO + OM = 30M; 30M = 45, OM = 15; AO = 2·15 = 30; BH = BO + OH = 30H;
2) В прямоугольном ΔAOH: \(\angle AOH = 30°\), \(OH = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\); \(BH = 3 \cdot 15 = 45\).
Ответ: 45 см.

Решение:
Дано:
— АМ — медиана треугольника АВС
— ВН — высота треугольника АВС
— АВ = ВС
— АМ = 45 см
— ∠САМ = 30°

Для нахождения высоты ВН будем использовать два подхода:

1. Используя свойства равнобедренного треугольника АВС:
— Так как АВ = ВС, то треугольник АВС является равнобедренным.
— Медиана АМ равна половине основания АВ, то есть \(АО : ОМ = 2 : 1\), следовательно, \(АО = 2 \cdot ОМ\).
— Так как АМ = 45 см, то \(ОМ = \frac{45}{3} = 15\) см.
— Высота ВН является одновременно и медианой, поэтому \(ВН = ВО + ОН\).
— Так как \(ВО : ОН = 2 : 1\), то \(ВО = 2 \cdot ОН\).
— Следовательно, \(ВН = 2 \cdot ОН + ОН = 3 \cdot ОН\).
— Так как \(ОН = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\) см, то \(ВН = 3 \cdot 15 = 45\) см.

2. Используя свойства прямоугольного треугольника АОН:
— Так как \(\angle АОН = 30°\), то \(\angle АНО = 60°\).
— Следовательно, \(\angle АОН = 30°\) и \(\angle АНО = 60°\), то есть треугольник АОН является прямоугольным.
— Так как \(АО = 2 \cdot ОМ = 2 \cdot 15 = 30\) см, то \(ОН = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\) см.
— Таким образом, \(ВН = ВО + ОН = 3 \cdot 15 = 45\) см.

Ответ: 45 см.