ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 405 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В треугольник АВС вписан ромб CDEF так, что угол С у них общий, а вершины D, E и F ромба принадлежат соответствен- но сторонам АС, АВ и ВС треугольника. Найдите стороны АС и ВС, если АЕ = 30 см, ВЕ = 12 см, а периметр треугольника равен 105 см

Краткий ответ:

Решение:

1) Рассмотрим ромб CDEF: CE — биссектриса ∠C;
2) В треугольнике ABC: AB = AE + BE = 42; PABC = AB + BC + AC; \(42 + BC + AC = 105\); BC + AC = 63; CE — биссектриса ∠C;
\(\frac{AE}{AC} = \frac{BE}{BC}\), \(AC = 2.5BC\); \(BC + 2.5BC = 63\); \(3.5BC = 63\), BC = 18; \(AC = 2.5 \cdot 18 = 45\);
Ответ: AC = 45 см; BC = 18 см.

Подробный ответ:

Дано:
— CDEF — ромб
— AE = 30 см
— BE = 12 см
— PABC = 105 см

Решение:
Для нахождения длин сторон AC и BC в треугольнике ABC, воспользуемся свойствами ромба и треугольника.

1. Рассмотрим ромб CDEF. Согласно свойствам ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов ромба. Следовательно, CE является биссектрисой угла ∠C в треугольнике ABC.

2. В треугольнике ABC:
— Сторона AB = AE + BE = 30 + 12 = 42 см
— Периметр треугольника ABC: PABC = AB + BC + AC

Из условия PABC = 105 см, получаем:
\(42 + BC + AC = 105\)
\(BC + AC = 63\)

3. Используя свойство биссектрисы треугольника, можно записать:
\(\frac{AE}{AC} = \frac{BE}{BC}\)
\(AC = 2.5BC\)

Подставляя это выражение в уравнение \(BC + AC = 63\), получаем:
\(BC + 2.5BC = 63\)
\(3.5BC = 63\)
\(BC = 18\)

4. Теперь, зная значение BC, можно найти длину AC:
\(AC = 2.5BC = 2.5 \cdot 18 = 45\)

Ответ: AC = 45 см, BC = 18 см.

Оцени решение