ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 406 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 39 см, 65 см и 80 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других его сторон. На какие отрезки центр этой окружности делит сторону треугольника?

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(OE \perp BC, OF \perp AC\); \(OF = OE = R\); \(CF, CE\) — касательные; \(CF = CE\);
2) Рассмотрим \(\triangle OFC\) и \(\triangle OEC\): \(\angle OFC = \angle OEC = 90°\); \(\triangle OFC\) и \(\triangle OEC\) — два катета;
3) В \(\triangle ABC\): \(\angle ACO = \angle BCO\); \(CO\) — биссектриса \(\angle C\);
\(\frac{AO}{AC} = \frac{BO}{BC} = \frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{3}\);
\(BO = \frac{3}{5}AO = 0.6AO\);
\(AB = AO + BO\);
\(AO + 0.6AO = 80\);
\(1.6AO = 80, AO = 50\);
\(BO = 0.6 \cdot 50 = 30\).

Ответ: \(AO = 50 \text{ см}; BO = 30 \text{ см}\).

Решение:

Дано:
— Окружность с центром в точке O.
— Касательные к окружности в точках A и B.
— Длина отрезка AB равна 80 см.
— Длина отрезка AC равна 65 см.
— Длина отрезка BC равна 39 см.

Рассмотрим окружность:
— Проведем прямую OE, перпендикулярную к касательной BC. Тогда \(OE \perp BC\).
— Проведем прямую OF, перпендикулярную к касательной AC. Тогда \(OF \perp AC\).
— Так как OF и OE являются радиусами окружности, то \(OF = OE = R\).
— Касательные CF и CE пересекаются в точке C, поэтому \(CF = CE\).

Рассмотрим треугольники OFC и OEC:
— Так как OF и OE перпендикулярны касательным, то \(\angle OFC = \angle OEC = 90°\).
— Треугольники OFC и OEC являются прямоугольными и имеют общий катет OC, поэтому \(\triangle OFC\) и \(\triangle OEC\) — два катета.

Рассмотрим треугольник ABC:
— Так как CO является биссектрисой угла C, то \(\angle ACO = \angle BCO\).
— Используя свойство подобия треугольников, получаем:
\(\frac{AO}{AC} = \frac{BO}{BC} = \frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{3}\)
— Отсюда \(BO = \frac{3}{5}AO = 0.6AO\).
— Так как \(AB = AO + BO\), то \(AO + 0.6AO = 80\).
— Решая это уравнение, получаем \(1.6AO = 80\), откуда \(AO = 50\).
— Тогда \(BO = 0.6 \cdot 50 = 30\).

Ответ: \(AO = 50 \text{ см}, BO = 30 \text{ см}\).