ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 409 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 42 см, а основание относится к боковой стороне как 6 : 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Решение:
1) ΔАВС — равнобедренный: ВН — высота и медиана; \(AH = \frac{1}{2}AC = \frac{3}{11}AB\)
2) В треугольнике АВН: АО — биссектриса ∠А; \(\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH} = \frac{11}{3}\)
3) \(BO = \frac{11}{3}OH\); \(BH = BO + OH\)
4) \(\frac{11}{3}OH + OH = 42\); \(OH = 9\)
Ответ: 9 см.

Дано: равнобедренный треугольник АВС, где АВ = ВС, высота ВН = 42 см, отношение сторон АС:АВ = 6:11.

Решение:
1) Так как треугольник АВС равнобедренный, то высота ВН является одновременно медианой и биссектрисой.
2) Найдем длину стороны АВ, используя отношение сторон АС:АВ = 6:11:
\(AB = \frac{11}{6}AC\)
3) Найдем длину стороны АС, зная, что ВН = 42 см и ВН = \(\frac{1}{2}AC\):
\(AC = \frac{2\cdot 42}{1} = 84\) см
4) Подставив найденное значение АС в формулу для АВ, получим:
\(AB = \frac{11}{6}AC = \frac{11}{6}\cdot 84 = 154\) см
5) Найдем длину отрезка ОН, используя свойство биссектрисы:
\(\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH} = \frac{154}{42} = \frac{11}{3}\)
6) Из этого следует, что \(BO = \frac{11}{3}OH\)
7) Найдем длину ОН, используя равенство \(BH = BO + OH\):
\(BH = BO + OH\)
\(42 = \frac{11}{3}OH + OH\)
\(OH = 9\) см

Ответ: 9 см.