ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 413 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен половине их разности.

Решение:

1) Построим две точки: AM = BM, CN = DN;
2) В трапеции ABCD: MN — средняя линия, MN = \(\frac{1}{2}(AD + BC)\);
3) В треугольнике BAC: ME — средняя линия, ME = \(\frac{1}{2}BC\);
4) В треугольнике BDC: FN — средняя линия, FN = \(\frac{1}{2}BC\);
5) Рассмотрим отрезок MN: MN = ME + EF + FN;
\(\frac{1}{2}(AD + BC) = BC + EF + \frac{1}{2}BC\);
\(\frac{1}{2}AD + \frac{1}{2}BC = BC + EF\);
EF = \(\frac{1}{2}AD — \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AD — BC)\).

Решение:

Дано: четырехугольник ABCD является трапецией, где AE = CE и BF = DF. Требуется доказать, что EF || AD || BC.

Шаг 1: Построим вспомогательные точки M и N, такие что AM = BM и CN = DN.
Это создает две пересекающиеся средние линии в трапеции ABCD.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник BAC.
Средняя линия ME в треугольнике BAC равна \(\frac{1}{2}BC\).

Шаг 3: Рассмотрим треугольник BDC.
Средняя линия FN в треугольнике BDC равна \(\frac{1}{2}BC\).

Шаг 4: Рассмотрим отрезок MN.
Согласно свойствам средних линий в трапеции, MN = \(\frac{1}{2}(AD + BC)\).

Шаг 5: Выразим длину отрезка EF.
Так как MN = ME + EF + FN, то EF = MN — ME — FN.
Подставляя выражения для ME и FN, получаем:
EF = \(\frac{1}{2}(AD + BC) — \frac{1}{2}BC — \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AD — BC)\).

Таким образом, мы доказали, что EF = \(\frac{1}{2}(AD — BC)\), что означает, что EF || AD || BC.