ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 418 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах угла А отметили точки В1, В2, С1, С2 так, что \(\frac{AB}{AC} = \frac{B1B2}{C1C2}\) (рис. 127). Докажите, что \(BC1 \parallel B2C2\).

Решение:

1) Проведем прямую: B2X || B1C1;
2) По теореме Фалеса:
\(AB1 / AC1 = B1B2 / C1C2\)
3) Из условия следует:
\(C1C2 = AC1 \cdot B1B2 / AB1\)
4) Точки X и C2 совпадают: B2C2 || B1C1.

Дано: отрезки \(AB1\) и \(AC1\) пересекаются в точке \(A\), а отрезки \(B1B2\) и \(C1C2\) параллельны.

Требуется доказать, что прямые \(B1C1\) и \(B2C2\) параллельны.

Решение:
1) Проведем прямую \(B2X\), параллельную прямой \(B1C1\). Точка \(X\) будет являться точкой пересечения прямой \(B2X\) и отрезка \(AC1\).
2) Применим теорему Фалеса к треугольникам \(AB1B2\) и \(AC1X\):
\(AB1 / AC1 = B1B2 / C1X\)
3) Из условия задачи следует, что \(B1B2 / C1C2 = AB1 / AC1\). Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:
\(B1B2 / C1X = B1B2 / C1C2\)
Следовательно, \(C1X = C1C2\), то есть точки \(X\) и \(C2\) совпадают.
4) Таким образом, прямая \(B2X\) параллельна прямой \(B1C1\), а так как точки \(X\) и \(C2\) совпадают, то прямые \(B1C1\) и \(B2C2\) также параллельны.

Вывод: Прямые \(B1C1\) и \(B2C2\) параллельны.