ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 419 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС пересекает луч АС в точке D. Докажите, что \(АВ : ВС = AD : CD\).

Решение:

1) Проведем прямую CE, которая параллельна BD и пересекает AB в точке E. Тогда CE ∥ BD и CE ∩ AB = E.

2) Для треугольников BCD и BCE:
\(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}\)

3) Для треугольников BCD и CBE:
\(\angle CBE = \frac{1}{2}\angle CBF\)

4) Треугольник CBE является равнобедренным, так как \(\angle CBE = \angle BCE\). Следовательно, BE = BC.

5) Согласно теореме Фалеса:
\(\frac{AB}{AD} = \frac{BE}{CD} = \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}\)

Таким образом, доказано, что AB : BC = AD : CD.

Решение:

Дано: BD — бисс ∠CBF.

Доказать: AB : BC = AD : CD.

Доказательство:

Проведем прямую CE, которая параллельна BD и пересекает AB в точке E. Тогда CE ∥ BD и CE ∩ AB = E.

В треугольнике BCD и BCE:
\(\angle BCE = \angle BCD\), так как они вертикальные углы.
\(\angle BCD = \angle BCE\), так как они накрест лежащие углы при параллельных прямых CE и BD, пересекаемых секущей BC.

Следовательно, треугольники BCD и BCE подобны, и по свойству подобных треугольников:
\(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}\)

Рассмотрим треугольники BCD и CBE:
\(\angle CBE = \frac{1}{2}\angle CBF\), так как CE ∥ BD.

Треугольник CBE является равнобедренным, так как \(\angle CBE = \angle BCE\). Следовательно, BE = BC.

Согласно теореме Фалеса:
\(\frac{AB}{AD} = \frac{BE}{CD} = \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}\)

Таким образом, доказано, что AB : BC = AD : CD.