ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 43 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна \(180^\circ\).

1) В параллелограмме ABCD: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\)
2) \(\angle A + 2\angle B = 180^\circ\), \(\angle B + 2\angle C = 180^\circ\)
3) \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\), \(\angle A + 2\angle B + \angle A + 2\angle B = 360^\circ\), \(2\angle A + 2\angle B = 360^\circ\), \(\angle A + \angle B = 180^\circ\)
4) \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\), \(\angle C + \angle B + \angle C + 2\angle B = 360^\circ\), \(2\angle B + 2\angle C = 360^\circ\), \(\angle B + \angle C = 180^\circ\)

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Доказать:
1) \(\angle A + 2\angle B = 180^\circ\)
2) \(\angle B + 2\angle C = 180^\circ\)

Решение:

1) Так как ABCD является параллелограммом, то противоположные стороны AB и DC, а также AD и BC параллельны. Следовательно, \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\).

2) Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\):
\(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\)

3) Подставляя \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\), получаем:
\(\angle A + 2\angle B + \angle A + 2\angle B = 360^\circ\)
\(2\angle A + 4\angle B = 360^\circ\)
\(\angle A + 2\angle B = 180^\circ\)

4) Аналогично, для \(\angle B + 2\angle C = 180^\circ\):
\(\angle B + 2\angle C + \angle B + 2\angle C = 360^\circ\)
\(2\angle B + 4\angle C = 360^\circ\)
\(\angle B + 2\angle C = 180^\circ\)

Таким образом, доказано, что \(\angle A + 2\angle B = 180^\circ\) и \(\angle B + 2\angle C = 180^\circ\).