ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 439 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 137 изображены треугольник АВС и вписанный в него ромб BDEK. Найдите сторону ромба, если АВ = 10 см, ВС = 15 см.

Решение:

1) Рассмотрим ромб BDEK: \(KB = BD = DE = EK\), \(EK \parallel BD\), \(ED \parallel BK\);
2) В треугольнике ABC: \(EK \parallel BC\), \(\Delta AKE \sim \Delta ABC\), \(AK = AB — BK = 10 — EK\);
3) Используя подобие треугольников, получаем: \(\frac{AK}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{EK}{BC}\), \(15AK = 10EK\), \(3(10 — EK) = 2EK\), \(5EK = 30\), \(EK = 6\).
Ответ: \(BD = 6\) см.

Дано: ромб BDEK, \(AB = 10\) см, \(BC = 15\) см. Найти длину стороны \(BD\).

Решение:
1) Рассмотрим ромб BDEK. Из определения ромба следует, что противоположные стороны равны, то есть \(KB = BD = DE = EK\).
2) Так как ромб BDEK вписан в треугольник ABC, то диагонали ромба \(BD\) и \(EK\) являются параллельными прямыми, пересекающими стороны треугольника ABC. Следовательно, \(EK \parallel BC\) и \(BD \parallel AC\).
3) Рассмотрим подобные треугольники \(\Delta AKE\) и \(\Delta ABC\). Из условия подобия треугольников следует, что \(\frac{AK}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{EK}{BC}\).
4) Используя данное соотношение, можно найти длину \(AK\): \(AK = AB — BK = 10 — EK\).
5) Далее, применяя свойство пропорциональности сторон подобных треугольников, получаем: \(\frac{AK}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{EK}{BC} \Rightarrow \frac{10 — EK}{10} = \frac{AE}{15} = \frac{EK}{15} \Rightarrow 15AK = 10EK\).
6) Решая полученное уравнение, находим: \(15(10 — EK) = 10EK \Rightarrow 150 — 15EK = 10EK \Rightarrow 3(10 — EK) = 2EK \Rightarrow 30 — 3EK = 2EK \Rightarrow 5EK = 30 \Rightarrow EK = 6\).
7) Таким образом, \(AK = AB — BK = 10 — 6 = 4\), а \(BD = EK = 6\) см.

Ответ: \(BD = 6\) см.