ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 441 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Две окружности с центрами O1 и О2 и радиусами 8 см и 12 см соответственно имеют только одну общую точку А (точка А лежит между точками О1 и 02). Их общая внешняя касательная пересекает прямую О102 в точке В. Найдите расстояния от точки В до центров данных окружностей.

Краткий ответ:

Решение:

1) Рассмотрим окружности: \(O_2E \perp BE\), \(O_1F \perp BE\); \(O_2E \parallel O_1F\); \(O_2A = O_2E = 12\); \(O_1A = O_1F = 8\);
\(O_1O_2 = O_1A + O_2A = 20\);
2) В треугольнике \(O_2EB\): \(O_1F \parallel O_2E\); \(\Delta O_2EB \sim \Delta O_1FB\); \(O_2B = O_2O_1 + O_1B\); \(O_2B = 20 + O_1B\);
3) Рассмотрим \(\Delta O_2EB\) и \(\Delta O_1FB\): \(\frac{O_2B}{O_1B} = \frac{O_2E}{O_1F} = \frac{3}{2}\); \(O_2B = 1.5 \cdot O_1B\); \(1.5O_1B = 20 + O_1B\); \(0.5O_1B = 20\), \(O_1B = 40\); \(O_2B = 1.5 \cdot 40 = 60\).
Ответ: 40 см; 60 см.

Подробный ответ:

Рассмотрим задачу подробно:

Дано:
— Окружности \(O_1\) и \(O_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) соответственно.
— Радиус окружности \(O_1\) равен \(8\) см.
— Радиус окружности \(O_2\) равен \(12\) см.
— Прямая \(BE\) является касательной к обеим окружностям.

Требуется найти длины отрезков \(BO_1\) и \(BO_2\).

Решение:
1. Рассмотрим взаимное расположение окружностей \(O_1\) и \(O_2\):
— Так как прямая \(BE\) является касательной к обеим окружностям, то \(O_2E \perp BE\) и \(O_1F \perp BE\).
— Поскольку \(O_2E\) и \(O_1F\) являются касательными к окружностям, то \(O_2E \parallel O_1F\).
— Из подобия треугольников \(O_2AE\) и \(O_1AF\) следует, что \(O_2A = O_2E = 12\) см и \(O_1A = O_1F = 8\) см.
— Длина отрезка \(O_1O_2\) равна сумме длин отрезков \(O_1A\) и \(O_2A\), то есть \(O_1O_2 = O_1A + O_2A = 20\) см.

2. Рассмотрим треугольник \(O_2EB\):
— Так как \(O_1F \parallel O_2E\), то \(\Delta O_2EB \sim \Delta O_1FB\).
— Из подобия треугольников следует, что \(\frac{O_2B}{O_1B} = \frac{O_2E}{O_1F} = \frac{3}{2}\).
— Отсюда получаем, что \(O_2B = \frac{3}{2}O_1B\).
— Также известно, что \(O_2B = O_2O_1 + O_1B\), поэтому \(O_2B = O_2O_1 + O_1B = 20 + O_1B\).

3. Рассмотрим треугольники \(\Delta O_2EB\) и \(\Delta O_1FB\):
— Из подобия треугольников следует, что \(\frac{O_2B}{O_1B} = \frac{O_2E}{O_1F} = \frac{3}{2}\).
— Подставляя выражение для \(O_2B\), получаем \(\frac{3}{2}O_1B = \frac{3}{2}O_1B\), откуда \(O_1B = 40\) см.
— Тогда \(O_2B = 20 + O_1B = 20 + 40 = 60\) см.

Ответ: \(BO_1 = 40\) см, \(BO_2 = 60\) см.

Оцени решение