ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 442 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Через середину высоты треугольника, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне. Найдите периметр треугольника, который эта прямая отсекает от данного.

Решение:
1) Треугольник ABC равнобедренный: AB = BC.
2) В треугольнике ABC: EF || BC, ΔEF ~ ΔABC.
3) AH = CH = \(\frac{1}{2}\)AC — высота и медиана треугольника.
4) PAEF = AE + EF + AF = \(\frac{3}{4}\)AB + \(\frac{3}{4}\)BC + \(\frac{3}{4}\)AC = \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + AC) = \(\frac{3}{4}\)PABC = \(\frac{3}{4}\)·48 = 36 см.

Ответ: 36 см.

Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \) — равнобедренный;
Периметр \( P_{ABC} = 48 \, \text{см} \);
\( BH \) — высота;
\( BO = OH \);
\( EF \parallel BC \).

Найти:
\( P_{AEF} \).

Решение:

1) В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \):
\( AB = BC \),
\( BH \) — высота и медиана,
значит:
\( AH = CH = \frac{1}{2}AC \).

2) В треугольнике \( \triangle BHC \):
\( BO = OH \),
\( OF \parallel BC \),
следовательно:
\( HF = FC = \frac{1}{2}HC = \frac{1}{4}AC \).

3) В треугольнике \( \triangle ABC \):
\( EF \parallel BC \),
\( \triangle AEF \sim \triangle ABC \),
следовательно:
\( AF = AH + HF = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{4}AC = \frac{3}{4}AC \).

4) Рассмотрим подобие треугольников \( \triangle AEF \) и \( \triangle ABC \):
Отношение сторон:
\(
\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{AF}{AC} = \frac{3}{4}.
\)
Периметр \( P_{AEF} \):
\(
P_{AEF} = AE + EF + AF.
\)
Подставим пропорции:
\(
P_{AEF} = \frac{3}{4}AB + \frac{3}{4}BC + \frac{3}{4}AC.
\)
Так как \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 48 \, \text{см} \), то:
\(
P_{AEF} = \frac{3}{4}(AB + BC + AC) = \frac{3}{4}P_{ABC}.
\)
Подставляем значение периметра \( P_{ABC} \):
\(
P_{AEF} = \frac{3}{4} \cdot 48 = 36 \, \text{см}.
\)

Ответ: \( 36 \, \text{см} \).