ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 443 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — 18 см, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружности с боковыми сторонами треугольника.

Решение:
1) Построим высоту: \(BH \perp AC\);
2) \(\triangle ABC\) равнобедренный: \(AB = BC\);
\(BH\) — высота и медиана: \(AH = CH = \frac{1}{2}AC = 6\);
\(BH\) — высота и биссектриса;
3) Рассмотрим окружность: \(AE = AH = 6\), \(CF = CH = 6\); \(BE = BF = AB — AE = 12\);
4) \(\triangle AEB\) равнобедренный: \(BE = BF\);
\(BH \perp EF\);
5) В \(\triangle ABC\):
\(EF \perp BH\), \(AC \perp BH\);
\(EF \parallel AC\);
\(\triangle EBF \sim \triangle ABC\);
6) Рассмотрим \(\triangle EBF\) и \(\triangle ABC\):
\(\frac{EF}{AC} = \frac{EB}{AB} = \frac{2}{3}\), \(\frac{EF}{AC} = \frac{2}{3}AC = 8\).

Ответ: 8 см.

Решение:

Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный, \(O\) — центр вписанной окружности, \(AC = 12\) см, \(AB = 18\) см, \(E\) и \(F\) — точки касания.

Шаг 1: Построим высоту \(BH\) треугольника \(\triangle ABC\).
Поскольку \(\triangle ABC\) является равнобедренным, высота \(BH\) перпендикулярна основанию \(AC\): \(BH \perp AC\).

Шаг 2: Найдем длину высоты \(BH\).
Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, медиана \(AH\) равна половине основания \(AC\):
\(AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см
Следовательно, \(BH = AH = 6\) см.

Шаг 3: Рассмотрим окружность, вписанную в \(\triangle ABC\).
Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра \(O\) до сторон треугольника: \(AE = AH = 6\) см, \(CF = CH = 6\) см.
Длина хорды \(BE = BF = AB — AE = 18 — 6 = 12\) см.

Шаг 4: Докажем, что \(\triangle AEB\) является равнобедренным.
Так как \(BE = BF\), \(\triangle AEB\) равнобедренный.
Следовательно, \(BH\) является биссектрисой угла \(\angle EBF\).

Шаг 5: Рассмотрим подобие треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle EBF\).
Так как \(EF \perp BH\) и \(AC \perp BH\), то \(EF \parallel AC\).
Следовательно, \(\triangle EBF\) подобен \(\triangle ABC\).

Шаг 6: Найдем длину отрезка \(EF\).
Используя подобие треугольников, имеем:
\(\frac{EF}{AC} = \frac{EB}{AB} = \frac{2}{3}\)
\(EF = \frac{2}{3}AC = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) см

Ответ: Длина отрезка \(EF\) равна 8 см.