ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 444 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что АВ = 8 см, ВС = 12 см, \(\angle\)ABC = 120°, BD — биссектриса. Найдите отрезок BD.

Решение:
1) Построим прямую AE, параллельную BD, пересекающую BC в точке E.
2) В треугольнике AEB: \(\angle AEB = \angle ABD = 60^\circ\).
3) В треугольнике EBA: \(\angle EBA = 180^\circ — \angle ABC = 60^\circ\), \(\angle EAB = 180^\circ — 60^\circ — 60^\circ = 60^\circ\), \(\angle EBA = \angle EAB = \angle AEB\), треугольник EBA равносторонний, \(EB = AE = AB = 8\) см.
4) В треугольнике AEC: \(BD \parallel AE\), \(\triangle AEC \sim \triangle ADC\), \(EC = EB + BC = 20\) см.
5) В треугольниках AEC и ADC: \(\frac{BD}{AE} = \frac{BC}{EC} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\), \(BD = 4,8\) см.

Ответ: 4,8 см.

Решение:

Дано:
— \(\angle ABC = 120^\circ\)
— \(AB = 8\) см
— \(BC = 12\) см
— \(BD\) — биссектриса угла \(\angle B\)

Требуется найти длину \(BD\).

1) Построим прямую \(AE\), параллельную \(BD\) и пересекающую \(BC\) в точке \(E\). Таким образом, \(AE \parallel BD\) и \(AE \perp BC\).

2) Рассмотрим треугольник \(AEB\). Так как \(AE \parallel BD\), то \(\angle AEB = \angle ABD\). Согласно условию, \(\angle ABC = 120^\circ\), следовательно, \(\angle AEB = \angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\).

3) Рассмотрим треугольник \(EBA\). Так как \(\angle EBA = 180^\circ — \angle ABC = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\) и \(\angle EAB = 180^\circ — 60^\circ — 60^\circ = 60^\circ\), то треугольник \(EBA\) равносторонний, и \(EB = AE = AB = 8\) см.

4) Рассмотрим треугольник \(AEC\). Так как \(BD \parallel AE\), то \(\triangle AEC \sim \triangle ADC\). Следовательно, \(EC = EB + BC = 8 + 12 = 20\) см.

5) Рассмотрим треугольники \(AEC\) и \(ADC\). Используя подобие треугольников, можно записать:
\(\frac{BD}{AE} = \frac{BC}{EC} \Rightarrow \frac{BD}{8} = \frac{12}{20} \Rightarrow BD = \frac{12}{20} \cdot 8 = 4,8\) см.

Ответ: \(BD = 4,8\) см.