ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 445 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона ВС параллелограмма ABCD в 2 раза больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В параллелограмма пересекают прямую CD в точках М и К соответственно (рис. 139). Найдите стороны параллелограмма, если МК = 18 см.

Решение:
1) В параллелограмме ABCD: CD = AB, AD = BC; CD || AB, AD ⊥ BC;
2) Для AB и CD и секущей AM: ∠AMD = 2∠BAM = 2∠MAD;
3) ΔADM равнобедренный: AD = MD;
4) Для AB и CD и секущей BK: ∠BKC = ∠ABK = ∠KBC;
5) ΔBCK равнобедренный: BC = CK;
6) Рассмотрим отрезок MK: MK = MD + CK — CD = 18; AD + BC — CD = 18; 2AB + 2AB — AB = 18; 3AB = 18, AB = 6; BC = 2·6 = 12.

Ответ: AB = 6 см, BC = 12 см.

Решение:

Дано: параллелограмм ABCD, BC = 2AB, AM — биссектриса угла ∠A, BK — биссектриса угла ∠B, MK = 18 см.

Найти: длины сторон AB и BC.

1) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Согласно свойствам параллелограмма, противоположные стороны равны: CD = AB, а также AD = BC.

2) Так как AM — биссектриса угла ∠A, то ∠AMD = \(2 \cdot \angle BAM\). Аналогично, так как BK — биссектриса угла ∠B, то ∠BKC = \(2 \cdot \angle ABK\).

3) Так как ΔADM — равнобедренный, то AD = MD.

4) Так как ΔBCK — равнобедренный, то BC = CK.

5) Рассмотрим отрезок MK:
— MK = MD + CK — CD
— Подставляя известные значения, получаем: MK = MD + CK — AB = 18
— Раскрывая скобки: AD + BC — AB = 18

6) Далее, используя свойства параллелограмма, получаем:
— 2AB + 2AB — AB = 18
— 3AB = 18
— AB = 6

7) Зная, что BC = 2AB, находим:
— BC = 2 * 6 = 12

Ответ: AB = 6 см, BC = 12 см.