ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 447 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит стороне АВ треугольника АВС, проходит через точку В, касается стороны АС в точке С и пересекает сторону АВ в точке D, причём AD : BD = 1 : 2. Найдите углы: 1) треугольника АВС; 2) треугольника BCD.

Решение:
1) В прямоугольном треугольнике ABC:
\(AD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}(DO + BO)\)
\(AD = \frac{1}{2}(R + R) = R\)
\(AO = AD + DO = R + R = 2R\)
\(CO = \frac{1}{2}AO, \angle OAC = 30°\)
\(\angle COA = 90° — \angle OAC = 60°\)
2) В равнобедренном треугольнике BOC:
\(\angle OBC = \angle OCB\)
\(\angle COB = 180° — \angle COA = 120°\)
\(2\angle OBC + \angle COB = 180°\)
\(2\angle OBC + 120° = 180°\)
\(2\angle OBC = 60°, \angle OBC = 30°\)
3) В треугольнике ABC:
\(\angle ACB = \angle ACO + \angle BCO\)
\(\angle ACB = 90° + 30° = 120°\)
4) В треугольнике BCD:
\(2\angle BDC + 2\angle DBC + \angle BCD = 180°\)
\(2\angle BDC + 30° + 90° = 180°\)
\(2\angle BDC = 60°, \angle BDC = 60°\)

Ответ: 1) 30°, 30°, 120°; 2) 30°, 60°, 90°.

Дано:
— Окружность с центром в точке O
— Касательная прямая АС
— AD : BD = 1 : 2
— Точка O лежит на отрезке AB

Решение:

1. Рассмотрим окружность:
— Так как точка O является центром окружности, то BO = CO = DO = R, где R — радиус окружности.
— Прямая АС является касательной к окружности, поэтому \(\angle OAC = 90°\).

2. Найдем длину отрезка AD:
— Так как AD : BD = 1 : 2, то AD = \(\frac{1}{2}\)BD.
— Из свойств окружности, BD является диаметром, поэтому BD = 2R.
— Следовательно, AD = \(\frac{1}{2}\)BD = \(\frac{1}{2}\)(2R) = R.

3. Найдем длину отрезка AO:
— Так как AD = R и DO = R, то AO = AD + DO = R + R = 2R.

4. Найдем \(\angle OAC\):
— Так как OA = \(\frac{1}{2}\)AO = R, то \(\angle OAC = 30°\).

5. Найдем \(\angle COA\):
— Так как \(\angle OAC = 90°\) и \(\angle OAC = 30°\), то \(\angle COA = 90° — 30° = 60°\).

6. Рассмотрим треугольник BOC:
— Так как BO = CO, треугольник BOC является равнобедренным.
— Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB\).
— Также, \(\angle COB = 180° — \angle COA = 180° — 60° = 120°\).
— Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(2\angle OBC + \angle COB = 180°\).
— Отсюда \(2\angle OBC + 120° = 180°\), откуда \(2\angle OBC = 60°\) и \(\angle OBC = 30°\).

7. Рассмотрим треугольник ABC:
— Так как \(\angle ACB = \angle ACO + \angle BCO\), то \(\angle ACB = 90° + 30° = 120°\).

8. Рассмотрим треугольник BCD:
— Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(2\angle BDC + 2\angle DBC + \angle BCD = 180°\).
— Так как \(\angle DBC = 90°\), то \(2\angle BDC + 90° = 180°\).
— Отсюда \(2\angle BDC = 90°\) и \(\angle BDC = 45°\).

Ответ: 1) 30°, 30°, 120°; 2) 30°, 60°, 90°.