ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 448 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На плоскости отметили 25 точек так, что среди любых трех из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше единицы. Докажите, что существует окружность единичного радиуса, которая содержит не менее 13 данных точек.

Решение задачи:
1) Возьмем две точки, расстояние между которыми наибольшее, и построим окружности единичного радиуса с центрами в данных точках.
2) Каждая из оставшихся 23 точек расположена внутри одной из построенных окружностей.
3) Значит, внутри каждой окружности лежит \(12\) точек, а также одна точка находится в центре, то есть всего в ней содержится \(13\) точек.

Рассмотрим задачу подробно:
На плоскости отметили \(25\) точек так, что среди любых трех из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше единицы. Требуется доказать следующее:
1) Возьмем две точки, расстояние между которыми наибольшее, и построим окружности единичного радиуса с центрами в данных точках.
Это необходимо сделать, чтобы определить, какие точки находятся внутри построенных окружностей. Поскольку расстояние между любыми тремя точками меньше единицы, то две точки из трех будут находиться внутри одной из построенных окружностей.
2) Каждая из оставшихся \(23\) точек расположена внутри одной из построенных окружностей.
Это следует из условия задачи, согласно которому расстояние между любыми тремя точками меньше единицы. Значит, каждая из оставшихся \(23\) точек должна лежать внутри одной из построенных окружностей.
3) Значит, внутри каждой окружности лежит \(12\) точек, а также одна точка находится в центре, то есть всего в ней содержится \(13\) точек.
Это следует из того, что всего \(25\) точек, две из них являются центрами окружностей, а оставшиеся \(23\) точки распределены по двум окружностям. Следовательно, внутри каждой окружности находится \(12\) точек, а также одна точка в центре, то есть всего \(13\) точек.