ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 450 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 145 \(DE \parallel AB\), \(BC \perp AD\). Укажите все пары подобных треугольников, изображенных на этом рисунке.

1) ΔADE ∼ ΔABC: \(\angle AED = \angle ACB = 90^\circ\); \(\angle DAE = \angle BAC\) — общий угол; ΔADE ∼ ΔABC — первый признак.
2) ΔABFE ∼ ΔADFC: \(\angle BEF = \angle DCF = 90^\circ\); \(\angle BFE = \angle DFC\) — вертикальные; ΔABFE ∼ ΔADFC — первый признак.
3) ΔABFE ∼ ΔDBAC: \(\angle BEF = \angle BCA = 90^\circ\); \(\angle FBE = \angle ABC\) — общий угол; ΔABFE ∼ ΔDBAC — первый признак.
Ответ: \(\Delta ADE \sim \Delta ABC \sim \Delta BFE \sim \Delta DFC\).

Полное пошаговое решение:

1) Рассмотрим треугольники ΔADE и ΔABC:
— Угол \(\angle AED\) равен углу \(\angle ACB\), так как они вписаны в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, \(\angle AED = \angle ACB = 90^\circ\).
— Угол \(\angle DAE\) равен углу \(\angle BAC\), так как они являются смежными углами. Следовательно, \(\angle DAE = \angle BAC\).
— Таким образом, треугольники ΔADE и ΔABC подобны, так как удовлетворяют первому признаку подобия треугольников: \(\angle AED = \angle ACB\) и \(\angle DAE = \angle BAC\).

2) Рассмотрим треугольники ΔABFE и ΔADFC:
— Угол \(\angle BEF\) равен углу \(\angle DCF\), так как они вписаны в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, \(\angle BEF = \angle DCF = 90^\circ\).
— Углы \(\angle BFE\) и \(\angle DFC\) являются вертикальными, то есть противолежащими углами при пересечении прямых. Следовательно, \(\angle BFE = \angle DFC\).
— Таким образом, треугольники ΔABFE и ΔADFC подобны, так как удовлетворяют первому признаку подобия треугольников: \(\angle BEF = \angle DCF\) и \(\angle BFE = \angle DFC\).

3) Рассмотрим треугольники ΔABFE и ΔDBAC:
— Угол \(\angle BEF\) равен углу \(\angle BCA\), так как они вписаны в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, \(\angle BEF = \angle BCA = 90^\circ\).
— Угол \(\angle FBE\) равен углу \(\angle ABC\), так как они являются смежными углами. Следовательно, \(\angle FBE = \angle ABC\).
— Таким образом, треугольники ΔABFE и ΔDBAC подобны, так как удовлетворяют первому признаку подобия треугольников: \(\angle BEF = \angle BCA\) и \(\angle FBE = \angle ABC\).

Ответ: \(\Delta ADE \sim \Delta ABC \sim \Delta BFE \sim \Delta DFC\).