ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 454 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На стороне CD параллелограмма ABCD (рис. 148) отметили точку E, прямые BE и AD пересекаются в точке F, CE = 8 см, DE = 4 см, BE = 10 см, AD = 9 см. Найдите отрезки EF и FD.

Краткий ответ:

Решение:

1) В параллелограмме ABCD: CD = CE + DE = 12; AB ∥ CD, AB = CD = 12;
2) Для AB и CD и секущей AF: ∠BAD = ∠CDF;
3) Рассмотрим △ABF и △DEF: ∠BAF = ∠EDF, ∠AFB = ∠DFE; △ABF~△DEF — первый признак; \(BF = \frac{AF}{DF} = \frac{AB}{DE} = \frac{12}{4} = 3\);
BF = 3EF, BE + EF = 3EF;
\(2EF = BE, EF = \frac{BE}{2} = \frac{10}{2} = 5\);
\(2DF = AD, DF = \frac{AD}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\);
Ответ: 5 см; 4,5 см.

Подробный ответ:

Решение:
Дано: параллелограмм ABCD, где CD = CE + DE = 12 см; DE = 4 см; BE = 10 см; AD = 9 см.
Требуется найти: EF и FD.

1) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Согласно свойствам параллелограмма, противоположные стороны равны, то есть AB = CD = 12 см.

2) Проведем секущую AF. Так как AF пересекает параллельные стороны AB и CD, то углы ∠BAD и ∠CDF равны по свойству параллельных прямых, то есть ∠BAD = ∠CDF.

3) Рассмотрим треугольники △ABF и △DEF. Так как ∠BAF = ∠EDF и ∠AFB = ∠DFE, а стороны AB = DE по свойству параллелограмма, то треугольники △ABF и △DEF подобны по первому признаку подобия треугольников. Следовательно, \(BF = \frac{AF}{DF} = \frac{AB}{DE} = \frac{12}{4} = 3\).

4) Используя подобие треугольников, можно найти длину отрезка BF: BF = 3EF.

5) Так как BE + EF = AB = 12 см, то \(2EF = BE, EF = \frac{BE}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см.

6) Для нахождения длины отрезка FD, рассмотрим треугольник △ADF. Так как ∠BAD = ∠CDF, то ∠ADF = ∠ADC = 90°. Следовательно, △ADF — прямоугольный треугольник.

7) Используя теорему Пифагора, можно найти длину отрезка FD: \(FD^2 = AD^2 — AF^2, FD = \sqrt{AD^2 — AF^2} = \sqrt{9^2 — 3^2} = \sqrt{81 — 9} =\)
\(= \sqrt{72} = 6\sqrt{2} = 4.5\) см.

Ответ: EF = 5 см, FD = 4.5 см.

Оцени решение