ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 458 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы, противолежащие их основаниям, равны.

Решение:

1) Треугольник ΔABC равнобедренный: \(∠A = ∠C\), \(∠A + 2∠B + ∠C = 180°\), \(2∠A = 180° — ∠B\)
2) Треугольник ΔA₁B₁C₁ равнобедренный: \(∠A₁ = ∠C₁\), \(∠A₁ + 2∠B₁ + 2∠C₁ = 180°\), \(2∠A₁ = 180° — 2∠B₁\)
3) Рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁: \(∠B = 2∠B₁\), \(2∠A = 2∠A₁\), \(∠A = ∠A₁\); ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁ — первый признак подобия треугольников.

Дано:
— Треугольник ΔABC является равнобедренным.
— Треугольник ΔA₁B₁C₁ также является равнобедренным.
— Угол ∠B равен удвоенному углу ∠B₁.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ΔABC. Так как он является равнобедренным, то справедливо равенство \(∠A = ∠C\). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(∠A + 2∠B + ∠C = 180°\). Подставляя \(∠A = ∠C\), получаем \(2∠A + 2∠B = 180°\), откуда \(2∠A = 180° — 2∠B\), или \(∠A = 90° — ∠B\).

2) Рассмотрим треугольник ΔA₁B₁C₁. Так как он также является равнобедренным, то \(∠A₁ = ∠C₁\). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(∠A₁ + 2∠B₁ + ∠C₁ = 180°\). Подставляя \(∠A₁ = ∠C₁\), получаем \(2∠A₁ + 2∠B₁ = 180°\), откуда \(2∠A₁ = 180° — 2∠B₁\), или \(∠A₁ = 90° — ∠B₁\).

3) Так как \(∠B = 2∠B₁\), то \(∠A = ∠A₁\). Таким образом, треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁ подобны по первому признаку подобия треугольников: \(∠A = ∠A₁\), \(∠B = 2∠B₁\), \(∠C = ∠C₁\).

Вывод: Треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁ являются подобными.