ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 461 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из вершины прямого угла треугольника опущена высота на гипотенузу. Сколько подобных треугольников образовалось при этом?

Решение:

1) Рассмотрим треугольники ΔAB H и ΔABC:
\(\angle ABH = \angle ABC = 90^\circ\)
\(\angle BAH = \angle CAB — \text{общий угол}\)
ΔAB H ∼ ΔABC — первый признак подобия треугольников.

2) Рассмотрим треугольники ΔBH C и ΔABC:
\(\angle BHC = \angle ABC = 90^\circ\)
\(\angle BCH = \angle ACB — \text{общий угол}\)
ΔBH C ∼ ΔABC — первый признак подобия треугольников.

3) Подобные треугольники:
ΔABC ∼ ΔAH B ∼ ΔH BC.

Ответ: три.

Решение:

Из вершины прямого угла В треугольника ABC опущена высота BH на гипотенузу AC. Требуется рассмотреть соотношения между треугольниками, образованными в результате этого построения.

1) Рассмотрим треугольники ΔAB H и ΔABC:
Угол ∠ABH в треугольнике ΔAB H равен углу ∠ABC в треугольнике ΔABC, так как оба угла прямые, то есть \(\angle ABH = \angle ABC = 90^\circ\).
Угол ∠BAH в треугольнике ΔAB H равен углу ∠CAB в треугольнике ΔABC, так как они являются смежными углами при пересечении прямой и параллельных ей прямых, то есть \(\angle BAH = \angle CAB\).
Таким образом, треугольники ΔAB H и ΔABC подобны по первому признаку подобия треугольников: \(\Delta ABH \sim \Delta ABC\).

2) Рассмотрим треугольники ΔBH C и ΔABC:
Угол ∠BHC в треугольнике ΔBH C равен углу ∠ABC в треугольнике ΔABC, так как оба угла прямые, то есть \(\angle BHC = \angle ABC = 90^\circ\).
Угол ∠BCH в треугольнике ΔBH C равен углу ∠ACB в треугольнике ΔABC, так как они являются смежными углами при пересечении прямой и параллельных ей прямых, то есть \(\angle BCH = \angle ACB\).
Таким образом, треугольники ΔBH C и ΔABC подобны по первому признаку подобия треугольников: \(\Delta BHC \sim \Delta ABC\).

3) Рассмотрим соотношение между всеми тремя треугольниками:
Поскольку треугольники ΔAB H и ΔABC, а также ΔBH C и ΔABC подобны, то и треугольники ΔAB H, ΔBH C и ΔABC будут подобны между собой: \(\Delta ABC \sim \Delta AHB \sim \Delta BHC\).

Ответ: три.