ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 464 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В трапеции ABCD (BC||AD) известно, что AD = 18 см, BC = 14 см, AC = 24 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагональ AC.

Решение:
1) В трапеции ABCD: AD || BC.
2) Для AD и ВС и секущей АС: \(\angle ADB = 2\angle CBD\).
3) Рассмотрим \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\): \(\angle AOD = \angle COB\), \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) — вертикальные углы, следовательно, \(\triangle AOD \sim \triangle COB\).
Тогда \(\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{9}{7}\), откуда \(AO = \frac{9}{7} \cdot 10.5 = 13.5\) и \(OC = 10.5\).
Ответ: 13.5 см; 10.5 см.

Решение:
Дано: трапеция ABCD, где AD = 18 см, BC = 14 см, AC = 24 см.
Требуется найти длины отрезков AO и OC.

1) Рассмотрим трапецию ABCD. Из условия известно, что AD || BC, то есть стороны AD и BC параллельны.

2) Проведем секущую прямую АС. Согласно свойствам параллельных прямых, углы, образованные секущей и параллельными прямыми, равны. Таким образом, \(\angle ADB = 2\angle CBD\).

3) Рассмотрим треугольники AOD и COB. Так как \(\angle AOD = \angle COB\) (вертикальные углы), а стороны AD и BC пропорциональны (\(\frac{AD}{BC} = \frac{9}{7}\)), то треугольники AOD и COB подобны по первому признаку подобия треугольников.

4) Из подобия треугольников AOD и COB следует, что \(\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{9}{7}\).

5) Зная, что AC = 24 см, можно найти длину отрезка AO:
\(AC = AO + OC\)
\(24 = AO + OC\)
\(OC = 24 — AO\)

6) Подставляя \(\frac{AO}{OC} = \frac{9}{7}\), получаем:
\(\frac{AO}{24 — AO} = \frac{9}{7}\)
\(7AO = 9(24 — AO)\)
\(7AO = 216 — 9AO\)
\(16AO = 216\)
\(AO = \frac{216}{16} = 13.5\) см

7) Зная длину AO, можно найти длину OC:
\(OC = 24 — AO = 24 — 13.5 = 10.5\) см

Ответ: AO = 13.5 см, OC = 10.5 см.