ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 465 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведенные из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Решение:

1) Рассмотрим ΔABC и ΔΑ1B1C1: ΔABC~ΔΑ1B1C1;
\(LB = 2B_1, LA = LA_1\);
2) Рассмотрим ΔABD и ΔΑ1B1D1: \(LBAD = 2B_1A_1D_1\);
\(LABD = \frac{1}{2}LB = \frac{1}{2}B_1 = LA_1B_1D_1\); ΔABD~ΔΑ1B1D1 — первый признак;
\(\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\).

Дано: ΔABC~ΔΑ1B1C1, BD — биссектриса угла ∠B, B1D1 — биссектриса угла ∠B1.

Доказать: \(\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\).

Решение:
1) Рассмотрим ΔABC и ΔΑ1B1C1. Так как ΔABC~ΔΑ1B1C1, то углы в соответствующих вершинах равны: ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1. Следовательно, \(LB = 2B_1\) и \(LA = LA_1\).

2) Рассмотрим ΔABD и ΔΑ1B1D1. Так как BD — биссектриса угла ∠B, а B1D1 — биссектриса угла ∠B1, то \(LBAD = 2B_1A_1D_1\).

3) Воспользуемся первым признаком подобия треугольников: ΔABD~ΔΑ1B1D1. Для этого нужно показать, что углы в соответствующих вершинах равны.
— \(LABD = \frac{1}{2}LB = \frac{1}{2}B_1 = LA_1B_1D_1\)
— \(LBAD = 2B_1A_1D_1\)
— \(LA = LA_1\)

4) Так как ΔABD~ΔΑ1B1D1, то пропорциональны соответствующие стороны:
\(\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\)

Таким образом, доказано, что \(\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\).