ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 466 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведенные из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Решение:

1) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: ΔABC~ΔA1B1C1, \(LA = LA1\);
2) Рассмотрим ΔABD и ΔA1B1D1: \(LBAD = LB1A1D1\), \(LADB = LA1D1B1 = 90°\);
ΔABD~ΔA1B1D1 — первый признак;
\(\frac{BD}{B1D1} = \frac{AB}{A1B1} = \frac{BC}{B1C1} = \frac{AC}{A1C1} = k\).

Решение:

Дано: ΔABC~ΔA1B1C1, BD — высота, B1D1 — высота треугольника.

Доказать: \(\frac{BD}{B1D1} = \frac{AB}{A1B1} = \frac{BC}{B1C1} = \frac{AC}{A1C1}\)

Шаг 1: Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1.
Так как ΔABC~ΔA1B1C1, то соответствующие углы равны: \(LA = LA1\).

Шаг 2: Рассмотрим ΔABD и ΔA1B1D1.
В ΔABD и ΔA1B1D1 углы при вершинах A и A1 равны, так как они соответствующие углы в подобных треугольниках ΔABC и ΔA1B1C1.
Следовательно, \(LBAD = LB1A1D1\).
Также, так как ΔABD и ΔA1B1D1 — прямоугольные треугольники, то \(LADB = LA1D1B1 = 90°\).

Шаг 3: Применение первого признака подобия треугольников.
Так как в ΔABD и ΔA1B1D1 соответствующие углы равны (\(LBAD = LB1A1D1\), \(LADB = LA1D1B1\)), то ΔABD~ΔA1B1D1 по первому признаку подобия треугольников.

Шаг 4: Вывод пропорции.
Из подобия треугольников ΔABD и ΔA1B1D1 следует, что:
\(\frac{BD}{B1D1} = \frac{AB}{A1B1} = \frac{BC}{B1C1} = \frac{AC}{A1C1}\)

Таким образом, доказано, что отношение высот BD и B1D1, а также отношения сторон AB/A1B1, BC/B1C1 и AC/A1C1 равны.