ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 47 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите углы параллелограмма \(ABCD\) (рис. 27), если \(\angle ABD = 68^\circ\), \(\angle ADB = 47^\circ\)

1) В параллелограмме ABCD: \(\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A\), \(\angle ABM = \frac{1}{2}\angle B\); \(AB = CD\), \(AD = BC\); \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
2) В треугольнике ABM: \(\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ\); \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AMB = 180^\circ\); \(\angle A + \angle B + 2\angle AMB = 360^\circ\); \(180^\circ + 2\angle AMB = 360^\circ\); \(2\angle AMB = 180^\circ\), \(\angle AMB = 90^\circ\).
Ответ: прямоугольный.

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, отрезки AE и BF являются биссектрисами углов A и B соответственно. Требуется найти величину угла ∠ABM.

Решение:
1) Поскольку ABCD является параллелограммом, то противоположные стороны AB и CD равны, а противоположные углы равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.
2) Так как AE и BF являются биссектрисами углов A и B соответственно, то ∠BAM = ∠A/2 и ∠ABM = ∠B/2.
3) Используя свойства параллелограмма, можно записать: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Поскольку ∠A = ∠C и ∠B = ∠D, то 2∠A + 2∠B = 360°, или ∠A + ∠B = 180°.
4) В треугольнике ABM сумма углов равна 180°: ∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°. Подставляя ∠BAM = ∠A/2 и ∠ABM = ∠B/2, получаем: \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AMB = 180^\circ\).
5) Преобразуем это уравнение: \(\angle A + \angle B + 2\angle AMB = 360^\circ\). Учитывая, что ∠A + ∠B = 180°, получаем: \(180^\circ + 2\angle AMB = 360^\circ\), откуда \(2\angle AMB = 180^\circ\) и \(\angle AMB = 90^\circ\).

Ответ: угол ∠ABM является прямым, то есть равен 90°.