ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 473 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Может ли прямая пересекать две стороны равнобедренного треугольника, отсекать от него треугольник, ему подобный, и не быть параллельной третьей стороне?

Решение:

1) Если EF ⊥ BC и ∠A = 90°, то EF ⊥ BC, AB ⊥ AC; BC ∥ AB, EF ∥ AC.

2) Рассмотрим △ABC и △FBE: ∠BAC = ∠BFE = 90°; ∠ABC = ∠FBE — общий угол; △ABC ≅ △FBE — первый признак.

Ответ: да.

Решение:

Дано: прямая EF пересекает стороны AB и BC треугольника ABC.

Требуется доказать, что:
1) Если EF ⊥ BC и ∠A = 90°, то EF ⊥ BC, AB ⊥ AC; BC ∥ AB, EF ∥ AC.
2) △ABC ≅ △FBE.

Доказательство:

1) Пусть EF ⊥ BC и ∠A = 90°. Тогда:
— EF ⊥ BC, так как прямая EF перпендикулярна стороне BC треугольника.
— AB ⊥ AC, так как в прямоугольном треугольнике ABC стороны AB и AC взаимно перпендикулярны.
— BC ∥ AB, так как в прямоугольном треугольнике ABC стороны BC и AB параллельны.
— EF ∥ AC, так как прямая EF параллельна стороне AC треугольника.

2) Рассмотрим △ABC и △FBE:
— ∠BAC = ∠BFE = 90°, так как в прямоугольных треугольниках ABC и FBE углы при вершинах B равны 90°.
— ∠ABC = ∠FBE, так как это общий угол для треугольников ABC и FBE.
— Таким образом, △ABC ≅ △FBE по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).

Ответ: да.