ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 481 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку А, лежащую вне окружности (рис. 152), проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в точках В и С (точка В лежит между точками А и С), а другая — в точках D и Е (точка D лежит между точками А и Е).

1) Докажите, что \(AB \cdot AC = AD — AE\).

2) Найдите отрезок АЕ, если \(AB = 18 \text{ см}, BC = 12 \text{ см}\) и \(AD : DE = 5 : 7\).

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(AN^2 = AB \cdot AC\) и \(AN^2 = AD \cdot AE\), поэтому \(AB \cdot AC = AD \cdot AE\).
2) Рассмотрим окружность: \(AD = \frac{5}{7} \cdot DE\), \(AE = AD + DE = \frac{12}{7} \cdot DE\), \(AC = AB + BC = 30\), \(\frac{18 \cdot 30}{7} = DE \cdot \frac{12}{7}\), \(DE^2 = \frac{49}{60} \cdot 540 = 441\), \(DE = \sqrt{441} = 21\), \(AE = \frac{12}{7} \cdot 21 = 36\).
Ответ: 36 см.

Дано:
— Отрезок \(AD\) относится к отрезку \(DE\) как \(5:7\)
— \(AB = 18\) см
— \(BC = 12\) см

Решение:
1) Рассмотрим окружность, в которой \(AN\) является касательной. Согласно теореме о касательной и секущей, имеем:
\(AN^2 = AB \cdot AC\)
\(AN^2 = AD \cdot AE\)
Следовательно, \(AB \cdot AC = AD \cdot AE\)

2) Далее рассмотрим ту же окружность. Так как \(AD\) относится к \(DE\) как \(5:7\), то \(AD = \frac{5}{7} \cdot DE\). Тогда \(AE = AD + DE = \frac{12}{7} \cdot DE\).

3) Также известно, что \(AC = AB + BC = 18 + 12 = 30\) см.

4) Теперь можно найти \(DE\):
\(\frac{18 \cdot 30}{7} = DE \cdot \frac{12}{7}\)
\(DE = \frac{18 \cdot 30}{12 \cdot 7} = \frac{540}{84} = \frac{49}{60} \cdot 540 = 441\)
\(DE = \sqrt{441} = 21\) см

5) Наконец, можно найти \(AE\):
\(AE = \frac{12}{7} \cdot 21 = 36\) см

Ответ: 36 см.