ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 483 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его соседние вершины принадлежат стороне АС, а две другие — сторонам АВ и ВС соответственно. Найдите сторону квадрата, если \(AC = a\), а высота, проведенная к стороне АС, равна \(h\).

Решение:
1) В квадрате EHGF: EF ∥ HG, ∠E = 90°, HG = HE;
2) В прямоугольных треугольниках HAE и DAB: ∠HAE = 2∠BAD, ∠AEH = ∠ADB; HAE ≅ DAB — первый признак; BE = AH, HE = (BD ⋅ AH) / AB;
3) Для ∆AC и HG, секущая AB: ∠CAB = ∠GHB;
4) В ∆AHB и ∆ABC: ∠CAB = ∠GHB, ∠ABC = ∠HBG; AHB ≅ ABC — первый признак; HG/AC = HB/AB, HG = (AC ⋅ HB) / AB, HE = (a ⋅ HB) / AB;
5) Составляем пропорцию: h ⋅ AH / AB = a ⋅ HB / AB, h ⋅ AH = a ⋅ HB, h ⋅ (AB — HB) = a ⋅ HB, h ⋅ AB — h ⋅ HB = a ⋅ HB, h ⋅ AB = (a + h) ⋅ HB, HB/AB = h/(a+h), HE = (a⋅h)/(a+h).

Ответ: HE = (a⋅h)/(a+h).

Решение:

Дано:
— Квадрат EHGF
— Высота BD
— AC = a, BD = h

Требуется найти HE.

1) Рассмотрим квадрат EHGF. Так как EHGF — квадрат, то стороны EF и HG параллельны и перпендикулярны друг другу. Следовательно, угол ∠E равен 90°, и HG = HE.

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники HAE и DAB. Так как треугольники имеют равные углы (∠HAE = 2∠BAD, ∠AEH = ∠ADB), то они подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда следует, что BE = AH и HE = (BD ⋅ AH) / AB.

3) Рассмотрим треугольники АС и HG с секущей АВ. Так как ∠CAB = ∠GHB (накрест лежащие углы), то треугольники подобны.

4) Рассмотрим треугольники АНВ и АВС. Так как ∠CAB = ∠GHB и ∠ABC = ∠HBG, то треугольники подобны по первому признаку подобия. Отсюда следует, что HG/AC = HB/AB, и HG = (AC ⋅ HB) / AB, HE = (a ⋅ HB) / AB.

5) Составим пропорцию: h ⋅ AH / AB = a ⋅ HB / AB, откуда h ⋅ AH = a ⋅ HB, h ⋅ (AB — HB) = a ⋅ HB, h ⋅ AB — h ⋅ HB = a ⋅ HB, h ⋅ AB = (a + h) ⋅ HB, HB/AB = h/(a+h), HE = (a⋅h)/(a+h).

Ответ: HE = \((a⋅h)/(a+h)\).