ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 484 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что \(BC = 72 \text{ см}, AD\) — высота, \(AD = 24 \text{ см}\). В данный треугольник вписан прямоугольник MNKP так, что вершины М и Р принадлежат стороне ВС, а вершины N и К — сторонам АВ и АС соответственно. Найдите стороны прямоугольника, если \(MP : MN = 9 : 5\).

Решение:
1) В прямоугольнике MNKP: MP || NK, \(\angle MNK = 90^\circ\); \(NK = MP = 1.8MN\);
2) Для ВС и NK и секущей АВ: \(\angle ABC = \angle ANK\);
3) Рассмотрим \(\triangle ANK\) и \(\triangle ABC\): \(\angle NAK = 2\angle BAC\), \(\angle ANK = \angle ABC\);
4) Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle NBM\): \(\angle ABD = \angle NBM\), \(\angle ADB = \angle NMB\); \(\triangle ABD \sim \triangle NBM\) — первый признак;
5) Составим равенство: \(\frac{40 \cdot AN}{MN} = \frac{24 \cdot (AB — AN)}{MN}\);
\(5AN = 3AB — 3AN\);
\(8AN = 3AB\), \(\frac{AN}{AB} = \frac{3}{8}\);
\(MN = \frac{40 \cdot 3}{8} = 15\);
\(MP = 1.8 \cdot 15 = 27\).

Ответ: 15 см; 27 см.

Дано:

1. Прямоугольник \( MNKP \): \( MP \parallel NK \), \(\angle M = 90^\circ\).
2. \( AD \) — высота, \( BC = 72 \, \text{см} \), \( AD = 24 \, \text{см} \).
3. Отношение \( MP : MN = 9 : 5 \).

Найти: \( MN \), \( MP \).

Решение:

1. В прямоугольнике \( MNKP \):
\(
NK = MP = 1,8 \cdot MN.
\)

2. Для \( BC \) и \( NK \), пересекаемых прямой \( AB \), углы:
\(
\angle ABC = \angle ANK.
\)

3. Рассмотрим треугольники \( \triangle ANK \) и \( \triangle ABC \):
\(
\angle NAK = \angle BAC, \quad \angle ANK = \angle ABC.
\)
По первому признаку подобия:
\(
\triangle ANK \sim \triangle ABC.
\)
Из подобия:
\(
\frac{NK}{BC} = \frac{AN}{AB}, \quad AB = \frac{BC \cdot AN}{NK}.
\)
Подставляя:
\(
AB = \frac{72 \cdot AN}{1,8 \cdot MN} = \frac{40 \cdot AN}{MN}.
\)

4. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle NBM \):
\(
\angle ABD = \angle NBM, \quad \angle ADB = \angle NMB.
\)
По первому признаку подобия:
\(
\triangle ABD \sim \triangle NBM.
\)
Из подобия:
\(
\frac{NM}{AD} = \frac{NB}{AB}, \quad AB = \frac{AD \cdot BN}{MN}.
\)
Подставляя:
\(
AB = \frac{24 \cdot (AB — AN)}{MN}.
\)

5. Составляем равенство:
\(
\frac{40 \cdot AN}{MN} = \frac{24 \cdot (AB — AN)}{MN}.
\)
Умножим обе части на \( MN \):
\(
40 \cdot AN = 24 \cdot (AB — AN).
\)
Раскрываем скобки:
\(
40 \cdot AN = 24 \cdot AB — 24 \cdot AN.
\)
Переносим:
\(
40 \cdot AN + 24 \cdot AN = 24 \cdot AB.
\)
\(
64 \cdot AN = 24 \cdot AB.
\)
Выразим \( AN \) через \( AB \):
\(
AN = \frac{3}{8} \cdot AB.
\)

6. Подставляем \( AN = \frac{3}{8} \cdot AB \) в формулу \( AB = \frac{40 \cdot AN}{MN} \):
\(
AB = \frac{40 \cdot \frac{3}{8} \cdot AB}{MN}.
\)
Упростим:
\(
AB = \frac{15 \cdot AB}{MN}.
\)
Следовательно:
\(
MN = 15 \, \text{см}.
\)

7. Найдем \( MP \):
\(
MP = 1,8 \cdot MN = 1,8 \cdot 15 = 27 \, \text{см}.
\)

Ответ: \( MN = 15 \, \text{см}, \, MP = 27 \, \text{см}. \)