ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 486 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две окружности с центрами О1 и О2 радиусы которых равны, пересекаются в точках А и В. Отрезок О1О2 пересекает данные окружности в точках С и D. Докажите, что четырехугольник ACBD — ромб.

Решение:

1) Рассмотрим окружности: \(O_1A = O_1B = O_2A = O_2B = R\); \(O_1AO_2B\) — ромб; \(\angle O_1AB = \angle O_2AB\);
2) В треугольнике \(CAD\): \(AE\) — биссектриса и высота; \(ACAD\) — равнобедренный; \(AC = AD\);
3) В треугольнике \(CBD\): \(BE\) — биссектриса и высота; \(ACBD\) — равнобедренный; \(BC = BD\);
4) В треугольнике \(BCA\): \(CE\) — медиана и высота; \(\Delta BCA\) — равнобедренный; \(BC = AC = AD = BD\); \(ACBD\) — ромб.

Полное пошаговое решение:

Дано: окружности с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) и радиусами \(O_1 = O_2 = R\). Требуется доказать, что четырехугольник \(ACBD\) является ромбом.

Шаг 1: Рассмотрим окружности \(O_1\) и \(O_2\). Поскольку радиусы окружностей равны, то \(O_1A = O_1B = O_2A = O_2B = R\). Следовательно, четырехугольник \(O_1AO_2B\) является ромбом.

Шаг 2: Так как \(\angle O_1AB = \angle O_2AB\) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то треугольники \(O_1AB\) и \(O_2AB\) подобны.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник \(CAD\). Поскольку \(AE\) является биссектрисой угла \(CAD\) и высотой треугольника, то \(ACAD\) является равнобедренным треугольником, где \(AC = AD\).

Шаг 4: Рассмотрим треугольник \(CBD\). Аналогично, \(BE\) является биссектрисой угла \(CBD\) и высотой треугольника, следовательно, \(ACBD\) является равнобедренным треугольником, где \(BC = BD\).

Шаг 5: Рассмотрим треугольник \(BCA\). Поскольку \(CE\) является медианой и высотой треугольника, то \(\Delta BCA\) является равнобедренным, где \(BC = AC = AD = BD\).

Шаг 6: Таким образом, четырехугольник \(ACBD\) является ромбом, так как противоположные стороны равны (\(AC = BD\) и \(AB = CD\)) и противоположные углы равны (\(\angle ACB = \angle ADB\) и \(\angle ABC = \angle ADC\)).

Вывод: Четырехугольник \(ACBD\) является ромбом.