ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 487 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Один из углов прямоугольной трапеции равен 135°, средняя линия — 21 см, а основания относятся как 5 : 2. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Решение:

1) В трапеции ABCD: BH — высота; EF — средняя линия; \(EF = \frac{1}{2}(AD + BC)\)
2) \(EF = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{2} \cdot 12 + BC\right)\), \(EF = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{2}BC\right) = \frac{7}{4}BC\)
3) \(BC = \frac{4}{7}EF = 12\), \(AD = \frac{5}{2} \cdot 12 = 30\)
4) В прямоугольном ΔABH: \(\angle ABH = \angle ABC — \angle CBH = 135° — 90° = 45°\), ΔABH — равнобедренный, AH = BH
5) В прямоугольнике BCDH: DH = BC = 12, CD = BH = AH, AD = AH + DH, 30 = CD + 12, CD = 18
Ответ: 18 см.

Дано:
— Трапеция ABCD
— \(\angle AC = \angle BD = 90^\circ\)
— EF — средняя линия
— \(\angle ABC = 135^\circ\)
— EF = 21 см
— AD : BC = 5 : 2

Решение:

1) Найдем высоту трапеции BH. Так как \(\angle AC = \angle BD = 90^\circ\), то BH является высотой трапеции.

2) Найдем длину средней линии EF. Согласно свойству средней линии трапеции, она равна полусумме длин оснований:
\(EF = \frac{1}{2}(AD + BC)\)

3) Подставим известные значения:
\(EF = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{2} \cdot 12 + BC\right)\)
\(EF = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{2}BC\right) = \frac{7}{4}BC\)

4) Найдем длину BC:
\(BC = \frac{4}{7}EF = 12\)

5) Найдем длину AD:
\(AD = \frac{5}{2} \cdot 12 = 30\)

6) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH:
\(\angle ABH = \angle ABC — \angle CBH = 135^\circ — 90^\circ = 45^\circ\)
Треугольник ABH — равнобедренный, значит AH = BH.

7) Рассмотрим прямоугольник BCDH:
\(DH = BC = 12\)
\(CD = BH = AH\)
\(AD = AH + DH\)
\(30 = CD + 12\)
\(CD = 18\)

Ответ: 18 см.