ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 49 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\). Определите величину угла \(M\) треугольника \(ABM\).

Краткий ответ:

Пусть a, b, c, d — углы параллелограмма: \(La = Lc\), \(2b = 2d\).

1) \(2b = 2a\); \(La + 2b = 180°\); \(La + 2a = 180°\); \(3a = 180°\); \(La = 60°\); \(Lb = 2 \cdot 60° = 120°\). Ответ: 60°; 120°.

2) \(La = 2b — 24°\); \(La + 2b = 180°\); \(Lb + 2b — 24° = 180°\); \(2b = 204°\); \(Lb = 102°\); \(La = 102° — 24° = 78°\). Ответ: 78°; 102°.

Подробный ответ:

Пусть a, b, c, d — углы параллелограмма, где \(La = Lc\) и \(2b = 2d\).

Рассмотрим первый случай:
1) Из условия \(2b = 2a\) следует, что \(b = a\). Тогда сумма углов параллелограмма должна быть равна \(180°\), то есть \(La + 2b = 180°\). Подставляя \(b = a\), получаем \(La + 2a = 180°\). Решая это уравнение, находим \(3a = 180°\), откуда \(a = 60°\). Теперь, зная \(a = 60°\), можем найти \(b = a = 60°\), а значит, \(Lb = 2 \cdot 60° = 120°\). Таким образом, ответ: \(La = 60°\), \(Lb = 120°\).

Рассмотрим второй случай:
2) Из условия \(La = 2b — 24°\) следует, что \(La = 2b — 24°\). Снова, сумма углов параллелограмма должна быть равна \(180°\), то есть \(La + 2b = 180°\). Подставляя \(La = 2b — 24°\), получаем \(2b — 24° + 2b = 180°\), откуда \(4b — 24° = 180°\) и \(4b = 204°\), а значит, \(b = 51°\). Теперь можно найти \(La = 2b — 24° = 2 \cdot 51° — 24° = 78°\) и \(Lb = 204° — 102° = 102°\). Таким образом, ответ: \(La = 78°\), \(Lb = 102°\).

Оцени решение