ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 499 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из деревянных палочек изготовили три подобных равносторонних треугольника. В каждом из них большую сторону покрасили в синий цвет, а меньшую — в желтый. Из синих палочек составили один треугольник, а из желтых — другой. Будут ли эти треугольники подобны

Ответ: да.

Решение:
1) Рассмотрим подобные треугольники: \(A_1B_1C_1 \sim A_2B_2C_2 \sim A_3B_3C_3\), и \(A_1B_1 > B_1C_1 > A_1C_1\).
2) Составим треугольники \(MNK\) и \(DEF\): \(MN = A_1B_1\), \(NK = A_2B_2\), \(MK = A_3B_3\); \(DE = A_1C_1\), \(EF = A_2C_2\), \(DF = A_3C_3\).
3) Рассмотрим подобные треугольники \(AMNK\) и \(ADEF\):
\(\frac{MN}{DE} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1}\), \(\frac{NK}{EF} = \frac{A_2B_2}{A_2C_2}\),
\(\frac{MK}{DF} = \frac{A_3B_3}{A_3C_3}\).
Так как \(AMNK \sim ADEF\), то это третий признак подобия треугольников.

Полное пошаговое решение:

Дано: треугольники \(A_1B_1C_1\), \(A_2B_2C_2\) и \(A_3B_3C_3\) являются данными треугольниками, при этом \(A_1B_1 > B_1C_1 > A_1C_1\).

Шаг 1. Рассмотрим подобные треугольники \(A_1B_1C_1\), \(A_2B_2C_2\) и \(A_3B_3C_3\):
\(A_1B_1C_1 \sim A_2B_2C_2 \sim A_3B_3C_3\)

Шаг 2. Найдем отношения сторон этих треугольников:
\(\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2}\), \(\frac{A_2B_2}{A_3B_3} = \frac{A_2C_2}{A_3C_3}\)

Шаг 3. Составим треугольники \(MNK\) и \(DEF\):
\(MN = A_1B_1\), \(NK = A_2B_2\), \(MK = A_3B_3\)
\(DE = A_1C_1\), \(EF = A_2C_2\), \(DF = A_3C_3\)

Шаг 4. Рассмотрим подобные треугольники \(AMNK\) и \(ADEF\):
\(\frac{MN}{DE} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1}\), \(\frac{NK}{EF} = \frac{A_2B_2}{A_2C_2}\), \(\frac{MK}{DF} = \frac{A_3B_3}{A_3C_3}\)

Шаг 5. Поскольку треугольники \(AMNK\) и \(ADEF\) подобны, то это третий признак подобия треугольников.

Таким образом, ответ: да, треугольники \(AMNK\) и \(ADEF\) подобны.